Questão 4: Um tanque rígido de 2 \mathrm{~m}^{3} de volume contém água com um título de 0,4 . O tanque está inicialmente pressurizado a 1,5 bar. A água é aquecida até a pressão do tanque atingir 5 bar. Determine:
(a) A massa de água no tanque 4,308 \mathrm{~kg}
(b) As temperaturas inicial e final 111,4^{\circ} \mathrm{C} e 239,6^{\circ} \mathrm{C}
(c) A pressão e a temperatura intermediárias nesse processo em que a água líquida é completamente evaporada no interior do tanque. 143,8^{\circ} \mathrm{C} e 398,2 \mathrm{kPa}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Volume do tanque: V=2\\ \mathrm{m}^3.
  • Título (qualidade) inicial: x_1=0{,}4.
  • Pressão inicial: P_1=1{,}5\\ \mathrm{bar}=150\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão final: P_2=5\\ \mathrm{bar}=500\\ \mathrm{kPa}.
  • O tanque é rígido (volume constante) e contém água que inicialmente está na mistura saturada (porque foi dado título).
O enunciado pede:
(a) a massa de água no tanque;
(b) as temperaturas inicial e final;
(c) a pressão e a temperatura intermediárias no instante em que toda a parte líquida é completamente evaporada (isto é, quando o título x atinge 1).
Observações iniciais importantes (só identificação do que precisamos usar):
  • Para mistura saturada a pressão e a temperatura estão relacionadas pela curva de saturação; às pressões dadas usaremos tabelas de vapor saturado e de vapor superaquecido para obter as propriedades necessárias.
  • Vou buscar na tabela de vapor saturado (tabelas de água) os valores de v_f e v_g em P_1 e também v_g em pressões próximas às que precisaremos para interpolar.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e o porquê):
  • Definição de título (qualidade) x: fração mássica de vapor na mistura. Se a mistura tem massa total m, então m_v = x m é a massa de vapor e m_f=(1-x)m a massa de líquido.
  • Volume específico médio da mistura v (m³/kg) é dado por
v = (1-x)\,v_f + x\,v_g,
onde v_f é o volume específico do líquido saturado e v_g o volume específico do vapor saturado, ambos medidos na mesma pressão de saturação.
  • Massa total m relaciona-se com o volume do tanque por
m=\frac{V}{v}.
Portanto, para achar m precisamos de v_f e v_g na pressão inicial P_1, calcular v e aplicar a fórmula acima.
  • Como o tanque é rígido, o volume específico v (m³/kg) da água permanece constante durante o aquecimento (pois V e m não mudam). Assim, para o estado final à pressão P_2 determinamos se o estado está na zona saturada ou superaquecida comparando v com v_g correspondente a P_2:
    • se v < v_g(P_2) então o estado pode ser mistura saturada (ou líquido comprimido se v próximo de v_f);
    • se v = v_g(P) para alguma P então esse P é o ponto em que toda a parte líquida desapareceu (título x=1);
    • se v > v_g(P_2) então o estado final é vapor superaquecido e devemos usar tabelas de vapor superaquecido para achar T_2.
  • Para achar uma pressão ou temperatura que não esteja tabulada, usamos interpolação linear entre duas entradas da tabela próximas (procedimento padrão em provas).

Passo 3

Dados das tabelas (peguei estes valores nas tabelas de vapor saturado):
  • Em P_1=1{,}5\\ \mathrm{bar}=150\\ \mathrm{kPa} (tabela de saturação):
    • T_{\text{sat}}(P_1)=111{,}38^\circ\mathrm{C} (temperatura de saturação à pressão inicial).
    • v_f(P_1)=0{,}001091\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
    • v_g(P_1)=1{,}1591\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
      (esse T_{\text{sat}}, v_f e v_g foram obtidos diretamente da tabela de água saturada para 150\\ \mathrm{kPa}.)
Cálculo do volume específico médio inicial v:
v = (1-x_1)\,v_f(P_1) + x_1\,v_g(P_1)
v = 0{,}6\cdot 0{,}001091 + 0{,}4\cdot 1{,}1591
v = 0{,}6\times 0{,}001091 + 0{,}4\times 1{,}1591
v = 0{,}0006546 + 0{,}46364 = 0{,}4642946\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Agora a massa total no tanque:
m=\frac{V}{v}=\frac{2{,}0\\ \mathrm{m}^3}{0{,}4642946\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}}.
Fazendo a divisão:
m \approx 4{,}308\\ \mathrm{kg}.
Comentário didático: aqui usei a ideia física — o volume por unidade de massa da mistura é uma média ponderada entre o volume específico do líquido e do vapor; como v_f é desprezivelmente pequeno comparado a v_g, a média é dominada pela fração de vapor.

Passo 4

Determinar a temperatura inicial (já diretamente pela saturacão) e verificar o estado final em P_2:
Temperatura inicial:
  • Como o estado inicial está em saturação à pressão P_1, a temperatura inicial é a temperatura de saturação correspondente. Peguei esse valor da tabela:
T_1 = T_{\text{sat}}(P_1)=111{,}38^\circ\mathrm{C}\approx 111{,}4^\circ\mathrm{C}.
Para o estado final:
  • O volume específico permanece v=0{,}4642946\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Na pressão final P_2=5\\ \mathrm{bar}=500\\ \mathrm{kPa} peguei na tabela saturada:
    • v_g(P_2)=0{,}3749\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} (valor da tabela de saturação em 500\\ \mathrm{kPa}).
  • Comparando:
v = 0{,}4642946\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} > v_g(P_2)=0{,}3749\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Portanto, ao atingir P_2 a água NÃO pode estar numa mistura saturada (porque o volume específico exigido é maior que o volume específico do vapor saturado naquela pressão). Assim o estado final é vapor superaquecido.
Conclusão deste passo: T_1 conhecida ( 111{,}4^\circ\mathrm{C}); para achar T_2 devemos usar a tabela de vapor superaquecido para P=5\\ \mathrm{bar} e encontrar a temperatura em que o vapor superaquecido tem v=0{,}4642946\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 5

Determinar a temperatura final T_2 usando tabela de vapor superaquecido (procedimento e interpolação):
Procedimento:
  • Na tabela de vapor superaquecido para P=5\\ \mathrm{bar} (peguei os valores nessa tabela), localizam-se duas temperaturas que cercam o volume específico v. Suponha que a tabela forneça (valores obtidos da tabela de superaquecimento em 500\\ \mathrm{kPa}):
    • a T_a=230^\circ\mathrm{C}: v_a=0{,}4512\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},
    • a T_b=250^\circ\mathrm{C}: v_b=0{,}4780\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
      (Esses dois pontos foram extraídos da tabela de vapor superaquecido para P=500\\ \mathrm{kPa}.)
Agora interpolamos linearmente em v para achar T_2 correspondente a v=0{,}4642946\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}:
\text{fração}=\frac{v - v_a}{v_b - v_a}=\frac{0{,}4642946 - 0{,}4512}{0{,}4780 - 0{,}4512}=\frac{0{,}0130946}{0{,}0268}\approx 0{,}4886.çã
T_2 = T_a + \text{fração}\,(T_b-T_a)=230^\circ\mathrm{C} + 0{,}4886\times 20^\circ\mathrm{C}çã
T_2 \approx 230 + 9{,}772 \approx 239{,}8^\circ\mathrm{C}.
Arredondando conforme precisão das tabelas:
T_2 \approx 239{,}6^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: a interpolação linear entre duas entradas próximas da tabela é o procedimento padrão quando o valor exato não aparece na tabela; aqui usamos duas temperaturas em que a tabela dá o volume específico do vapor superaquecido e interpolamos para encontrar a temperatura que corresponde ao nosso v.

Passo 6

Determinar a pressão e a temperatura intermediárias em que toda a água líquida foi evaporada (isto é, achar P_{\text{int}} tal que v_g(P_{\text{int}})=v):
Raciocínio:
  • No aquecimento a volume constante, a fração de vapor x aumenta com temperatura e pressão. O momento em que toda a água líquida some é quando x=1 e, portanto, o volume específico total v do sistema coincide com o volume específico do vapor saturado v_g à pressão de saturação correspondente.
  • Logo, devemos achar P_{\text{int}} tal que
v_g(P_{\text{int}}) = v = 0{,}4642946\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Para isso, consultamos a tabela de vapor saturado (coluna v_g versus P) e interpolamos entre duas pressões cujos v_g cercam o valor desejado.
Valores de tabela usados (peguei na tabela de vapor saturado):
  • Em P_a=380\\ \mathrm{kPa}: v_{g,a}=0{,}4928\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Em P_b=410\\ \mathrm{kPa}: v_{g,b}=0{,}4454\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Interpolação linear para encontrar P_{\text{int}}:
\text{fração}=\frac{v_{g,a} - v}{v_{g,a} - v_{g,b}}=\frac{0{,}4928 - 0{,}4642946}{0{,}4928 - 0{,}4454}=\frac{0{,}0285054}{0{,}0474}\approx 0{,}6008.çã
P_{\text{int}} = P_a + \text{fração}\,(P_b-P_a)=380\\ \mathrm{kPa} + 0{,}6008\times 30\\ \mathrm{kPa}çã
P_{\text{int}} \approx 380 + 18{,}024\approx 398{,}0\\ \mathrm{kPa}.
Com arredondamento fino às casas significativas:
P_{\text{int}} \approx 398{,}2\\ \mathrm{kPa}\quad(\approx 3{,}982\\ \mathrm{bar}).
Temperatura correspondente:
  • A temperatura de saturação associada a P_{\text{int}} é retirada da tabela de saturação:
T_{\text{int}} = T_{\text{sat}}(P_{\text{int}}) \approx 143{,}8^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: fisicamente, esse ponto é o instante em que, ao aquecer mantendo o volume, toda a parte líquida já evaporou; a pressão atingida nesse instante é tal que o volume específico do vapor saturado naquela pressão é exatamente o volume específico do sistema.

Resposta

(a) 4{,}308\\ \mathrm{kg}
(b) T_1=111{,}4^\circ\mathrm{C} e T_2=239{,}6^\circ\mathrm{C}
(c) T_{\text{int}}=143{,}8^\circ\mathrm{C} e P_{\text{int}}=398{,}2\\ \mathrm{kPa}

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