Ar a 600 kPa e 330 K entra em um tubo horizontal e bem isolado com
de diâmetro e sai a 120 kPa e 300 K . Aplicando o modelo de gás ideal para o ar, determine em Regime Permanente: a) as velocidades na entrada e na saída do tubo
; b) a vazão mássica
.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede coisas claras:
- Dados do escoamento (peguei estes valores do enunciado):
- Pressão na entrada:
. - Temperatura na entrada:
. - Pressão na saída:
. - Temperatura na saída:
. - Diâmetro interno do tubo (constante):
. - O tubo é horizontal e bem isolado (isto é informação importante do enunciado).
- Pressão na entrada:
- O que o enunciado pede:
(a) as velocidades do ar na entrada e na saída do tubo (em);
(b) a vazão mássica () em .
Passo 2
Resumo das hipóteses físicas e modelo a usar (explicando passo a passo):
- Regime permanente e fluxo unidimensional: as propriedades em cada seção são uniformes no tempo.
- Tubo bem isolado e horizontal: no balanço de energia para escoamento estacionário não há troca de calor e não há trabalho de eixo; também não há variação de energia potencial (horizontal).
- Ar tratado como gás ideal com propriedades aproximadamente constantes. Para ar é usual tomar
e . Vou usar estes valores. - Equação de conservação de massa (continuidade) para secções 1 e 2 com mesma área
: Explicando: é a densidade ( ), é a velocidade média ( ). Como a área é igual nas duas seções, ela cancela. - Balanço de energia (equação da energia em regime permanente, sem trocas de calor nem trabalho externo, e desprezando variação de energia potencial):
onde é a entalpia específica ( ). Para gás ideal com constante vale . Isto significa que a diferença de temperatura está ligada à diferença de energia cinética por unidade de massa.
Passo 3
Expressar as densidades usando a equação do gás ideal (aqui ensino como usar):
- A equação do gás ideal na forma de densidade é
onde é a pressão em , é a constância gasosa específica ( ) e é a temperatura em . - Converter pressões para
e diâmetro para metros:
- Calcular
e :
Agora calculo numericamente (passo a passo):
- Observação útil: a razão
simplifica elegantemente: Substituindo os números:
Passo 4
Usar a continuidade para relacionar
e
:
Portanto
Isto significa que, porque a densidade caiu muito, a velocidade deve aumentar na saída para manter a mesma massa passando por cada seção por unidade de tempo.
Passo 5
Escrever o balanço de energia em termos de temperaturas e velocidades e eliminar
pela relação da continuidade:
- Como
, a equação de energia dá - Rearranjando:
- Substituindo
com : - Isolando
:
Passo 6
Substituir números para obter
numericamente (faço as contas passo a passo):
- Primeiro calcular
e : - Diferença de temperatura e constantes:
- Numerador:
- Logo
Passo 7
Calcular
usando a razão de densidades:
Passo 8
Calcular a vazão mássica
. Primeiro a área da seção transversal:
Usar
(poderia usar
, dá o mesmo):
Fazendo as contas:
Passo 9
Checagem rápida de consistência (para dar confiança):
- Velocidade na saída
é menor que a velocidade do som em torno de (aprox ), portanto fluxo sub-sônico e o uso das fórmulas foi consistente. - Continuidade:
e (mesmos valores numéricos), confirmando coerência.