Ar a 600 kPa e 330 K entra em um tubo horizontal e bem isolado com 1,2 \mathrm{~cm} de diâmetro e sai a 120 kPa e 300 K . Aplicando o modelo de gás ideal para o ar, determine em Regime Permanente: a) as velocidades na entrada e na saída do tubo [\mathrm{m} / \mathrm{s}]; b) a vazão mássica [\mathrm{kg} / \mathrm{s}].

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede coisas claras:
  • Dados do escoamento (peguei estes valores do enunciado):
    • Pressão na entrada: \,p_1=600\\ \mathrm{kPa}.
    • Temperatura na entrada: \,T_1=330\\ \mathrm{K}.
    • Pressão na saída: \,p_2=120\\ \mathrm{kPa}.
    • Temperatura na saída: \,T_2=300\\ \mathrm{K}.
    • Diâmetro interno do tubo (constante): \,d=1{,}2\\ \mathrm{cm}.
    • O tubo é horizontal e bem isolado (isto é informação importante do enunciado).
  • O que o enunciado pede:
    (a) as velocidades do ar na entrada e na saída do tubo (em \mathrm{m/s});
    (b) a vazão mássica ( \dot m) em \mathrm{kg/s}.

Passo 2

Resumo das hipóteses físicas e modelo a usar (explicando passo a passo):
  • Regime permanente e fluxo unidimensional: as propriedades em cada seção são uniformes no tempo.
  • Tubo bem isolado e horizontal: no balanço de energia para escoamento estacionário não há troca de calor e não há trabalho de eixo; também não há variação de energia potencial (horizontal).
  • Ar tratado como gás ideal com propriedades aproximadamente constantes. Para ar é usual tomar \,R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e \,c_p\approx1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Vou usar estes valores.
  • Equação de conservação de massa (continuidade) para secções 1 e 2 com mesma área A: \rho_1 A V_1=\rho_2 A V_2 \quad\Rightarrow\quad \rho_1 V_1=\rho_2 V_2.Explicando: \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3}), V é a velocidade média ( \mathrm{m/s}). Como a área é igual nas duas seções, ela cancela.
  • Balanço de energia (equação da energia em regime permanente, sem trocas de calor nem trabalho externo, e desprezando variação de energia potencial): h_1+\dfrac{V_1^2}{2}=h_2+\dfrac{V_2^2}{2},onde h é a entalpia específica ( \mathrm{J/kg}). Para gás ideal com c_p constante vale h=c_p T. Isto significa que a diferença de temperatura está ligada à diferença de energia cinética por unidade de massa.

Passo 3

Expressar as densidades usando a equação do gás ideal (aqui ensino como usar):
  • A equação do gás ideal na forma de densidade é \rho=\dfrac{p}{R T},onde p é a pressão em \mathrm{Pa}, R é a constância gasosa específica ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e T é a temperatura em \mathrm{K}.
  • Converter pressões para \mathrm{Pa} e diâmetro para metros: p_1=600\\ \mathrm{kPa}=600\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\qquad p_2=120\\ \mathrm{kPa}=120\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},
d=1{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}012\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \rho_1 e \rho_2: \rho_1=\dfrac{p_1}{R T_1}=\dfrac{600\times10^{3}}{287\cdot330},
\rho_2=\dfrac{p_2}{R T_2}=\dfrac{120\times10^{3}}{287\cdot300}.
Agora calculo numericamente (passo a passo):
\rho_1=\dfrac{600000}{287\cdot330}=\dfrac{600000}{94710}\approx6{,}3347\\ \mathrm{kg/m^{3}},
\rho_2=\dfrac{120000}{287\cdot300}=\dfrac{120000}{86100}\approx1{,}3935\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Observação útil: a razão \dfrac{\rho_1}{\rho_2} simplifica elegantemente: \dfrac{\rho_1}{\rho_2}=\dfrac{p_1/T_1}{p_2/T_2}=\dfrac{p_1 T_2}{p_2 T_1}.Substituindo os números: \dfrac{\rho_1}{\rho_2}=\dfrac{600\times10^{3}\cdot300}{120\times10^{3}\cdot330}=5\cdot\dfrac{300}{330}=\dfrac{50}{11}\approx4{,}54545.

Passo 4

Usar a continuidade para relacionar V_2 e V_1:
\rho_1 V_1=\rho_2 V_2 \quad\Rightarrow\quad V_2=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\,V_1.
Portanto
V_2=\left(\dfrac{50}{11}\right)V_1.
Isto significa que, porque a densidade caiu muito, a velocidade deve aumentar na saída para manter a mesma massa passando por cada seção por unidade de tempo.

Passo 5

Escrever o balanço de energia em termos de temperaturas e velocidades e eliminar V_2 pela relação da continuidade:
  • Como h=c_p T, a equação de energia dá c_p T_1+\dfrac{V_1^2}{2}=c_p T_2+\dfrac{V_2^2}{2}.
  • Rearranjando: c_p(T_1-T_2)=\dfrac{V_2^2-V_1^2}{2}.
  • Substituindo V_2=\alpha V_1 com \alpha=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}=\dfrac{50}{11}: c_p(T_1-T_2)=\dfrac{\alpha^2 V_1^2 - V_1^2}{2}=\dfrac{(\alpha^2-1)V_1^2}{2}.
  • Isolando V_1^2: V_1^2=\dfrac{2 c_p (T_1-T_2)}{\alpha^2-1}.

Passo 6

Substituir números para obter V_1 numericamente (faço as contas passo a passo):
  • Primeiro calcular \alpha e \alpha^2-1: \alpha=\dfrac{50}{11}\approx4{,}54545,\qquad \alpha^{2}-1=\left(\dfrac{50}{11}\right)^2-1=\dfrac{2500}{121}-1=\dfrac{2379}{121}\approx19{,}6529.
  • Diferença de temperatura e constantes: T_1-T_2=330-300=30\\ \mathrm{K}, \qquad c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Numerador: 2 c_p (T_1-T_2)=2\cdot1005\cdot30=60300\\ \mathrm{(J/kg)}.
  • Logo V_1^2=\dfrac{60300}{19{,}6529}\approx3067{,}3\quad\Rightarrow\quad V_1\approx\sqrt{3067{,}3}\approx55{,}4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular V_2 usando a razão de densidades:
V_2=\alpha V_1=\dfrac{50}{11}\cdot55{,}4\approx4{,}54545\cdot55{,}4\approx251{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Calcular a vazão mássica \dot m. Primeiro a área da seção transversal:
A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}=\dfrac{\pi(0{,}012)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}000036\approx0{,}000113097\\ \mathrm{m^{2}}.
Usar \dot m=\rho_1 A V_1 (poderia usar \rho_2 A V_2, dá o mesmo):
\dot m=\rho_1 A V_1\approx6{,}3347\cdot0{,}000113097\cdot55{,}4\\ \mathrm{kg/s}.
Fazendo as contas:
A V_1\approx0{,}000113097\cdot55{,}4\approx0{,}0062647\\ \mathrm{m^{3}/s},
\dot m\approx6{,}3347\cdot0{,}0062647\approx0{,}0397\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 9

Checagem rápida de consistência (para dar confiança):
  • Velocidade na saída V_2\approx251{,}8\\ \mathrm{m/s} é menor que a velocidade do som em torno de 300\\ \mathrm{K} (aprox a\approx347\\ \mathrm{m/s}), portanto fluxo sub-sônico e o uso das fórmulas foi consistente.
  • Continuidade: \rho_1 V_1\approx6{,}3347\cdot55{,}4\approx351{,}0 e \rho_2 V_2\approx1{,}3935\cdot251{,}8\approx351{,}0 (mesmos valores numéricos), confirmando coerência.

Resposta

V_1\approx55{,}4\\ \mathrm{m/s},\qquad V_2\approx251{,}8\\ \mathrm{m/s}\n
\dot m\approx0{,}0397\\ \mathrm{kg/s}

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