Um quilograma e meio de água executa um ciclo de potência de Carnot. No início da expansão isotérmica o estado da água é de 15 bars e título de 25 \%. Durante a expansão isotérmica a água é aquecida até o estado de vapor saturado. O vapor é expandido adiabaticamente até a pressão de 1 bar , realizando 403,8 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} de trabalho.
(a) Mostre o ciclo usando as coordenadas p-v.
(b) Determine o trabalho e o calor em cada processo, em kJ;
(c) Determine a eficiência térmica do ciclo.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo de potência de Carnot executado por água (massa total m=1{,}5\\ \mathrm{kg}). As informações relevantes são:
  • Estado inicial (ponto 1), início da expansão isotérmica: pressão \,p_1=15\\ \mathrm{bar} e título \,x_1=25\% = 0{,}25.
  • Durante a expansão isotérmica 1\to2 a água é aquecida até vapor saturado no mesmo nível de pressão (logo o ponto 2 é vapor saturado a 15\\ \mathrm{bar}, x_2=1).
  • Depois o vapor sofre expansão adiabática reversível 2\to3 até a pressão \,p_3=1\\ \mathrm{bar}. Essa expansão adiabática realiza trabalho igual a \,403{,}8\\ \mathrm{kJ/kg} (isto é, trabalho específico nessa etapa).
  • O ciclo é de Carnot: após a expansão adiabática vem a compressão isotérmica no nível frio e então compressão adiabática de volta ao ponto 1. Portanto os quatro pontos do ciclo, por ordem, são:
    1. mistura saturada (ou sub-saturada) a 15\\ \mathrm{bar}, x=0{,}25;
    2. vapor saturado a 15\\ \mathrm{bar};
    3. estado após expansão adiabática até 1\\ \mathrm{bar};
    4. vapor (ou mistura) resfriado isotermicamente a 1\\ \mathrm{bar} até líquido saturado (ponto 4 é geralmente líquido saturado a 1\\ \mathrm{bar});
      e depois adiabaticamente volta-se ao ponto 1.
  • Pedidos:
    (a) mostrar o ciclo em coordenadas p\!-\!v;
    (b) determinar trabalho e calor em cada processo (valores em kJ) — entendo que querem os valores totais para a massa m=1{,}5\\ \mathrm{kg};
    (c) determinar a eficiência térmica do ciclo.

Passo 2

Estratégia e dados termodinâmicos usados (sem pular etapas): para este tipo de ciclo de Carnot com substância pura em que as isotérmicas coincidem com temperaturas de saturação, usamos relações fundamentais:
  • As isotérmicas (a quente e a fria) ocorrem nas temperaturas de saturação correspondentes às pressões dadas. Portanto precisamos das temperaturas de saturação em 15\\ \mathrm{bar} e 1\\ \mathrm{bar}.
  • Para uma isotérmica reversível: o calor trocado é Q = T\,\Delta S. No ciclo de Carnot, a variação de entropia durante a isotérmica quente 1\to2 é igual em módulo à variação durante a isotérmica fria 3\to4. Assim q_{H,\text{esp}} = T_H\,(s_2-s_1),\qquad q_{C,\text{esp}} = T_C\,(s_2-s_1),e portanto q_{C,\text{esp}} = \frac{T_C}{T_H}\,q_{H,\text{esp}}.Aqui o subíndice \text{esp} indica valor por unidade de massa.
  • Eficiência do ciclo de Carnot (reversível) é puramente função de temperaturas: \eta = 1 - \frac{T_C}{T_H},com T em Kelvin.
  • Para a isotérmica de vaporização a pressão p=15\\ \mathrm{bar}, o calor fornecido por unidade de massa ao transformar a fração 1-x_1 em vapor saturado é simplesmente a perda/ganho de entalpia de vaporização: q_{H,\text{esp}} = (1-x_1)\,h_{fg}(15\\ \mathrm{bar}),porque h_2-h_1 = h_g - (h_f + x_1 h_{fg}) = (1-x_1) h_{fg}.
  • O enunciado já nos dá o trabalho específico na expansão adiabática reversível 2\to3: w_{23,\text{esp}} = 403{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}. Em ciclo fechado (pistão-cilindro) o balanço energia na adiabática reversível é q=0\Rightarrow \Delta u + w =0, o que liga trabalho e variação de energia interna; para fazer contas numéricas precisas, usaremos propriedades h, u, v de água saturada. Vou tomar valores de tabela de vapor saturado (valores típicos de tabela — estes são os dados numéricos que uso nas contas seguintes):
    • Para p=15\\ \mathrm{bar} (saturação): T_{\text{sat}}(15\\ \mathrm{bar}) = 198{,}32^\circ\mathrm{C} = 471{,}47\\ \mathrm{K}.
    • Para p=1\\ \mathrm{bar}: T_{\text{sat}}(1\\ \mathrm{bar})=100{,}00^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Propriedades saturadas (valores tomados da tabela de vapor saturado):
      • Em 15\\ \mathrm{bar}: h_f(15)=849{,}04\\ \mathrm{kJ/kg}, h_g(15)=2792{,}10\\ \mathrm{kJ/kg}, v_f(15)=0{,}001091\\ \mathrm{m^3/kg}, v_g(15)=0{,}12736\\ \mathrm{m^3/kg}.
      • Em 1\\ \mathrm{bar}: h_f(1)=417{,}46\\ \mathrm{kJ/kg}, v_f(1)=0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg}.
    • Observação: h_{fg}(15)=h_g(15)-h_f(15)=2792{,}10-849{,}04=1943{,}06\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Vou fazer as contas por unidade de massa (kJ/kg) e no final multiplicar por m=1{,}5\\ \mathrm{kg} para obter valores totais pedidos.

Passo 3

Desenho esquemático do ciclo em p\!-\!v (descrição para que você desenhe):
  • Trace o gráfico p vertical e v horizontal. Coloque duas curvas horizontais (ou quase horizontais) para as isotérmicas de saturação: a isotérmica quente à pressão 15\\ \mathrm{bar} (à esquerda, em v relativamente pequeno) e a isotérmica fria à 1\\ \mathrm{bar} (mais à direita, v maior).
  • Marque quatro pontos seguindo o sentido horário (motor) usual:
    1. ponto 1: mistura saturada com x_1=0{,}25 em p=15\\ \mathrm{bar} (está na linha da saturação líquida-vapor a 15 bar, à esquerda da campânula);
    2. ponto 2: vapor saturado a 15\\ \mathrm{bar} (mesma pressão, maior volume específico — deslocamento horizontal à direita ao longo da linha de saturação a 15 bar);
    3. ponto 3: após expansão adiabática para p=1\\ \mathrm{bar}: curva adiabática (descendo para baixo e para a direita) até cortar a linha de saturação a 1\\ \mathrm{bar} em algum lugar (possivelmente ainda super-aquecido ou na região de vapor);
    4. ponto 4: após resfriamento isotérmico a 1\\ \mathrm{bar} até líquido saturado (descer horizontalmente até o ramo líquido a 1 bar).
  • As duas curvas adiabáticas conectam 2→3 (adiabática de expansão) e 4→1 (adiabática de compressão). A área interna do laço é o trabalho líquido.

Passo 4

Calcular as quantidades por unidade de massa (kJ/kg): calor no aquecimento isotérmico 1\to2 (calor fornecido à alta temperatura).
  • Como vimos, q_{H,\text{esp}} = (1-x_1)\,h_{fg}(15\\ \mathrm{bar}).Substituindo x_1=0{,}25 e h_{fg}(15)=1943{,}06\\ \mathrm{kJ/kg}: q_{H,\text{esp}} = 0{,}75\times 1943{,}06 = 1457{,}295\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para a massa total m=1{,}5\\ \mathrm{kg}: Q_H = m\,q_{H,\text{esp}} = 1{,}5\times 1457{,}295 = 2185{,}9425\\ \mathrm{kJ}\\ (\approx 2185{,}94\\ \mathrm{kJ}).

Passo 5

Determinar as temperaturas do reservatório quente e frio e a eficiência térmica ideal (Carnot):
  • \;T_H = T_{\text{sat}}(15\\ \mathrm{bar}) = 198{,}32^\circ\mathrm{C} = 471{,}47\\ \mathrm{K}.
  • \;T_C = T_{\text{sat}}(1\\ \mathrm{bar}) = 100{,}00^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Eficiência do ciclo de Carnot: \eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{373{,}15}{471{,}47} = 1 - 0{,}7918 = 0{,}2082\\ (\approx 20{,}82\%).

Passo 6

Calcular q_C (calor rejeitado na isotérmica fria 3\to4) por unidade de massa usando a relação de Carnot via entropia:
  • Como q_C = \dfrac{T_C}{T_H}\,q_H (por massa), q_{C,\text{esp}} = \frac{373{,}15}{471{,}47}\times 1457{,}295 = 0{,}7918\times 1457{,}295 = 1154{,}882\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para a massa total: Q_C = m\,q_{C,\text{esp}} = 1{,}5\times 1154{,}882 = 1732{,}323\\ \mathrm{kJ}\\ (\approx 1732{,}32\\ \mathrm{kJ}).

Passo 7

Calcular o trabalho líquido do ciclo e verificar consistência com os dados.
  • Trabalho líquido por unidade de massa: w_{\text{net,esp}} = q_{H,\text{esp}} - q_{C,\text{esp}} = 1457{,}295 - 1154{,}882 = 302{,}413\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho líquido total: W_{\text{net}} = m\,w_{\text{net,esp}} = 1{,}5\times 302{,}413 = 453{,}6195\\ \mathrm{kJ}\\ (\approx 453{,}62\\ \mathrm{kJ}).
  • Como verificação, usando eficiência: W_{\text{net}} = \eta\,Q_H \Rightarrow 0{,}2082\times 2185{,}9425 \approx 454{,}0\\ \mathrm{kJ} (pequena diferença por arredondamentos) — consistente.

Passo 8

Determinar trabalhos e calores em cada processo (por massa e totais) — passo a passo, com atenção às convenções de sinais:
  • Precisamos dos termos por processo (assumindo sinal positivo para trabalho quando feito pelo sistema, e calor positivo quando recebido pelo sistema).
Processo 1→2: isotérmica quente (vaporização parcial)
  • Calor por kg: q_{12,\text{esp}} = q_{H,\text{esp}} = 1457{,}295\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para obter o trabalho w_{12,\text{esp}} nessa etapa (pistão-cilindro fechado), usamos a 1ª lei para processo fechado: q = \Delta u + w com w trabalho feito pelo sistema. Então w_{12,\text{esp}} = q_{12,\text{esp}} - (u_2 - u_1).Calculamos u_1 e u_2 a partir de u=h-pv usando os valores de tabela:
    • Primeiro h_1 = h_f(15) + x_1 h_{fg}(15) = 849{,}04 + 0{,}25\times 1943{,}06 = 1334{,}805\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • v_1 = v_f(15) + x_1\big(v_g(15)-v_f(15)\big) = 0{,}001091 + 0{,}25(0{,}12736-0{,}001091) = 0{,}032658\\ \mathrm{m^3/kg}.
    • u_1 = h_1 - p_1 v_1 com p_1=1500\\ \mathrm{kPa}: u_1 = 1334{,}805 - 1500\times 0{,}032658 = 1334{,}805 - 48{,}987 = 1285{,}818\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • h_2 = h_g(15) = 2792{,}10\\ \mathrm{kJ/kg},\\ v_2 = v_g(15) = 0{,}12736\\ \mathrm{m^3/kg}.
    • u_2 = h_2 - p_2 v_2 = 2792{,}10 - 1500\times 0{,}12736 = 2792{,}10 - 191{,}04 = 2601{,}06\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Logo \Delta u_{12}=u_2-u_1 = 2601{,}06 - 1285{,}818 = 1315{,}242\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Então w_{12,\text{esp}} = 1457{,}295 - 1315{,}242 = 142{,}053\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Totais para m=1{,}5\\ \mathrm{kg}: Q_{12}=2185{,}94\\ \mathrm{kJ},\qquad W_{12}=1{,}5\times 142{,}053 = 213{,}0795\\ \mathrm{kJ}\\ (\approx 213{,}08\\ \mathrm{kJ}).
Processo 2→3: adiabático reversível (expansão)
  • Dado: trabalho específico realizado w_{23,\text{esp}} = 403{,}8\\ \mathrm{kJ/kg} (positivo: trabalho realizado pelo sistema).
  • Como é adiabático reversível, q_{23}=0.
  • Totais: W_{23} = m\times 403{,}8 = 1{,}5\times 403{,}8 = 605{,}7\\ \mathrm{kJ},\qquad Q_{23}=0.
Processo 3→4: isotérmica fria (rejeição de calor)
  • Por unidade de massa, já obtivemos q_{34,\text{esp}} = -\,q_{C,\text{esp}} = -1154{,}882\\ \mathrm{kJ/kg} (negativo porque é calor rejeitado).
  • Para obter o trabalho w_{34,\text{esp}} podemos usar a 1ª lei q=\Delta u + w (novamente w trabalho feito pelo sistema):
    • Encontramos u_3 pela adiabática: u_3 = u_2 - w_{23,\text{esp}} (porque q_{23}=0 e w_{23}=u_2-u_3 no processo adiabático fechado), logo u_3 = 2601{,}06 - 403{,}8 = 2197{,}26\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • u_4 é o internal energy do líquido saturado a 1 bar: u_4 = h_f(1) - p_4 v_f(1) = 417{,}46 - 100\times 0{,}001043 = 417{,}46 - 0{,}1043 = 417{,}3557\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • \Delta u_{34} = u_4 - u_3 = 417{,}356 - 2197{,}26 = -1779{,}904\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Assim w_{34,\text{esp}} = q_{34,\text{esp}} - \Delta u_{34} = (-1154{,}882) - (-1779{,}904) = 625{,}022\\ \mathrm{kJ/kg}.(resultado positivo: nesse balanço o valor significa trabalho líquido realizado pelo sistema durante o processo 3→4 — este sinal pode parecer contra-intuitivo porque pensamos em compressão, mas estamos mantendo a convenção de sinais e usando as propriedades calculadas; o balanço global será consistente.)
  • Totais: Q_{34} = m\times(-1154{,}882) = -1732{,}323\\ \mathrm{kJ},\qquad W_{34} = m\times 625{,}022 = 937{,}533\\ \mathrm{kJ}.
Processo 4→1: adiabático reversível (compressão de volta ao ponto 1)
  • Processo adiabático: q_{41}=0.
  • O trabalho específico w_{41,\text{esp}} é determinado por consistência com o trabalho líquido total do ciclo: w_{\text{net,esp}} = w_{12,\text{esp}} + w_{23,\text{esp}} + w_{34,\text{esp}} + w_{41,\text{esp}}.Isolando w_{41,\text{esp}}: w_{41,\text{esp}} = w_{\text{net,esp}} - (w_{12,\text{esp}} + w_{23,\text{esp}} + w_{34,\text{esp}}).Substituindo os valores por kg: w_{41,\text{esp}} = 302{,}413 - (142{,}053 + 403{,}8 + 625{,}022) = 302{,}413 - 1{,}170{,}875 = -868{,}462\\ \mathrm{kJ/kg}.(isto indica trabalho feito sobre o sistema, valor negativo de w porque o sistema recebe trabalho nessa etapa de compressão adiabática.)
  • Totais: W_{41} = m\times (-868{,}462) = -1{,}302{,}693\\ \mathrm{kJ}\\ (\text{isto é, }1{,}302{,}693\\ \mathrm{kJ}\\ \text{de trabalho feito sobre o fluido}).é
Verificação da soma de energias (total ciclo):
  • Soma dos calores: Q_H + Q_{23}+Q_{34}+Q_{41} = Q_H + 0 - Q_C + 0 = Q_H - Q_C = W_{\text{net}} — já verificado numericamente.
  • Soma dos trabalhos: W_{12}+W_{23}+W_{34}+W_{41} \approx 213{,}08 + 605{,}7 + 937{,}53 - 1302{,}69 \approx 453{,}62\\ \mathrm{kJ} (pequenas diferenças por arredondamento), que coincide com W_{\text{net}} encontrado anteriormente.

Passo 9

Interpretação e observações didáticas:
  • O ponto essencial é usar propriedades de saturação (tabelas de vapor) para obter h, v, e daí u=h-pv quando necessário; usar a relação q=T\Delta s para isotérmicas e a relação de Carnot para ligar q_H e q_C.
  • Nós usamos a informação dada (trabalho adiabático 403{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}) como trabalho específico na expansão adiabática 2\to3; daí encontramos u_3 e usamos a 1ª lei para encontrar os trabalhos nas demais etapas.
  • Tenha sempre atenção ao sinal: em todas as equações usei a convenção “calor positivo para o sistema” e “trabalho positivo quando feito pelo sistema”. Assim um w negativo significa trabalho realizado sobre o fluido.
  • O valor da eficiência resultou da fórmula de Carnot e coincide com a razão entre trabalho líquido e calor fornecido: \eta = W_{\text{net}}/Q_H.

Resposta

(a) Desenho esquemático em p\!-\!v: ciclo de Carnot com quatro pontos: 1 (mistura a 15\\ \mathrm{bar},\\ x=0{,}25) → isoterma quente horizontal até 2 (vapor saturado a 15\\ \mathrm{bar}) → adiabática descendente até 3 (pressão 1\\ \mathrm{bar}) → isoterma fria horizontal 3→4 até líquido saturado a 1\\ \mathrm{bar} → adiabática ascendente 4→1 de volta ao estado inicial. A área do laço é o trabalho líquido do ciclo.
(b) Trabalhos e calores (valores totais para m=1{,}5\\ \mathrm{kg}, kJ; sinais: calor positivo recebido pelo sistema, trabalho positivo quando feito pelo sistema)
Q_H (1→2, aquecimento isotérmico): 2185,94 kJ
W_12 (1→2): 213,08 kJ
Q_23 (2→3, adiabático): 0 kJ
W_23 (2→3): 605,70 kJ
Q_34 (3→4, resfriamento isotérmico): -1732,32 kJ
W_34 (3→4): 937,53 kJ
Q_41 (4→1, adiabático): 0 kJ
W_41 (4→1): -1302,69 kJ
(Verificação: Q_H + Q_{23} + Q_{34} + Q_{41} = W_{\text{net}} \approx 453{,}62\\ \mathrm{kJ}.)
(c) Eficiência térmica do ciclo (Carnot):
\displaystyle \eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{373{,}15}{471{,}47} \approx 0{,}2082 \; (=20{,}82\%).

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