A reação de isomerização a seguir ocorre em fase líquida: A \rightarrow B, onde A e B são líquidos miscíveis para os quais \mathrm{g}^{\mathrm{E}} / \mathrm{RT}=0,1 \mathrm{x}_{\mathrm{A}} \mathrm{x}_{\mathrm{B}}. Para \Delta \mathrm{g}^{0}{ }_{298}=-1.000 \mathrm{~J}, qual é a composição de equilíbrio da mistura a 25{ }^{\circ} \mathrm{C} ? Resp. x_{A}=0,3955.

Passo 1

O enunciado trata da isomerização em fase líquida A \longrightarrow B
onde temos um excesso de energia livre de mistura dado por
\frac{g^{E}}{RT}=0,1\,x_{A}\,x_{B}
e a variação padrão de energia livre de reação a 298,K é
\Delta g^{0}_{298}=-1000\\ \mathrm{J/mol}.
Queremos achar a composição de equilíbrio x_{A} a 25{ }^{\circ}\mathrm{C} (isto é, T=298,K). Para isso vamos usar coeficientes de atividade obtidos do modelo de Margules simétrico de segunda ordem e a condição de equilíbrio \Delta g_{r}=0.

Passo 2

Do modelo de Margules simétrico com parâmetro A=0{,}1 temos para o binário
\ln\gamma_{A}=A\,x_{B}^{2},\qquad \ln\gamma_{B}=A\,x_{A}^{2}.
Logo
\ln\frac{\gamma_{B}}{\gamma_{A}} = A\bigl(x_{A}^{2}-x_{B}^{2}\bigr) = A\,(x_{A}-x_{B})\,(x_{A}+x_{B}) = A\,(2\,x_{A}-1).

Passo 3

Na condição de equilíbrio \Delta g_{r}=0 vale
\Delta g^{0}+RT\ln Q=0,
onde Q é o quociente de atividades
Q=\frac{a_{B}}{a_{A}} =\frac{\gamma_{B}\,x_{B}}{\gamma_{A}\,x_{A}}.
Desse modo define-se a constante de equilíbrio padrão
K^0 = \exp\Bigl(-\tfrac{\Delta g^{0}}{RT}\Bigr) = \exp\Bigl(-\tfrac{-1000}{8{,}314\times298}\Bigr) = \exp\bigl(0{,}4034\bigr)\approx1{,}497.

Passo 4

Igualando Q a K^{0} obtemos
\frac{\gamma_{B}\,x_{B}}{\gamma_{A}\,x_{A}} =K^{0} \;\Longrightarrow\; \frac{x_{B}}{x_{A}} \exp\bigl[\ln(\gamma_{B}/\gamma_{A})\bigr] =K^{0} \;\Longrightarrow\; \frac{1-x_{A}}{x_{A}} \exp\bigl[A\,(2x_{A}-1)\bigr] =K^{0}.
Substituindo A=0{,}1 e K^0=1{,}497, definimos a função
F(x_{A}) =\frac{1-x_{A}}{x_{A}} \exp\bigl[0{,}1\,(2x_{A}-1)\bigr] -1{,}497
e buscamos x_{A} tal que F(x_{A})=0.

Passo 5

Resolvendo numericamente (por tentativa e erro ou método de Newton, por exemplo) chega-se a
x_{A}\approx0{,}3955.

Resposta

x_{A}=0{,}3955

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