Uma reação é processada em um reator descontínuo. Encontre a conversão depois de 1 hora para:
A R
  • CAO=1 mol / L.
  • =xA=1.
    (Resposta ).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma reação em um reator descontínuo (batch) do tipo
A to R
com concentração inicial CA0=1 mol/L e taxa de consumo
-!rA = 3,CA^0,5l[mol/(Lcdot h)r]
O que cai bem aqui é usar a balanço de matéria para reator batch, a definição de conversão
xA = CA0-CACA0
e integrar a equação diferencial até t=1,h.

Passo 2

No reator descontínuo, não entra nem sai material, então a variação de concentração é igual ao consumo da reação:
dCAdt = -,rA = -,3,CA^0,5
Aqui eu usei a ideia de balanço: “acumulação = geração – consumo”, mas sem geração nem entrada, sobra só o consumo.

Passo 3

Agora, passa para conversão. Como
xA = CA0-CACA0 Longrightarrow CA = CA0,(1 - xA),
a gente também vê que
dCA = -,CA0,dxA

Passo 4

Substituindo CA = CA0(1-xA) e dCA na equação diferencial:
dCAdt = -3,(CA0(1-xA))^0,5 Longrightarrow -!CA0,dxAdt = -3,CA0^0,5,(1-xA)^0,5
Como CA0=1, isso simplifica para
dxAdt = 3,(1 - xA)^0.5

Passo 5

Agora separamos variáveis e integramos desde t=0, xA=0 até t, xA=xA(t):
integral0^xAdxraiz1-x = integral0^t3,dt
Do lado esquerdo, usamos integral (1-x)^-1/2dx = -2raiz1-x, então
l[-2raiz1-xr]0^xA = 2 - 2raiz1-xA ;=;3,t
Logo
2 - 2raiz1-xA = 3t Longrightarrow raiz1-xA = 1 - tfrac32t
Para achar quando xA=1 basta ver que raiz1-1=0 = 1 - 1.5,t, daí t = tfrac23,h.
Ou seja, em t=0,667,h já deu 100% de conversão, então em t=1,h a reação já está completa.

Resposta

xA(1 rm h) = 1

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