Um recipiente contém 40 L de um gás perfeito sob a pressão de 20 atm , quando a temperatura é de 40^{\circ} \mathrm{C}. Abre-se uma válvula de escape do recipiente, automaticamente, quando a pressāo ambiente é de 1,04 \mathrm{~atm} e a temperatura é igual a 56^{\circ} \mathrm{C}. Qual o volume do gás, medido nas condições ambiente, que escapa do recipiente?

Passo 1

O enunciado dá um recipiente com gás e pede o volume do gás que escapa, medido nas condições ambiente. Informações fornecidas:
  • Volume do recipiente: V_{\text{rec}} = 40\\ \mathrm{L}.
  • Estado inicial dentro do recipiente: pressão P_i = 20\\ \mathrm{atm} e temperatura T_i = 40^\circ\mathrm{C}.
  • Condições ambiente (igual ao estado final do gás que sai do recipiente): pressão P_a = 1{,}04\\ \mathrm{atm} e temperatura T_a = 56^\circ\mathrm{C}.
    O que o problema pede: o volume do gás que escapa, medido nas condições ambiente P_a, T_a.

Passo 2

Conceito e estratégia (passo-a-passo didático):
  • Para um gás perfeito vale a lei dos gases ideais:
PV = nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases ideais e T a temperatura absoluta (Kelvin). Aqui cada variável tem significado claro:
  • P: pressão do gás (em atm, por exemplo),
  • V: volume ocupado pelo gás (em L),
  • n: quantidade de matéria (mols),
  • R: constante dos gases (se P em atm e V em L, R não precisa ser usada explicitamente porque ela cancela em proporções),
  • T: temperatura em Kelvin.
  • Como o recipiente tem volume fixo V_{\text{rec}}, o número de mols no recipiente em cada estado é proporcional a P/T:
n \propto \frac{P V_{\text{rec}}}{T}.
  • Quando a válvula abre, uma parcela de mols sai até que a pressão dentro iguale a pressão ambiente P_a. Vamos calcular o número inicial de mols n_i e o número final de mols n_f no recipiente; a diferença n_{\text{esc}}=n_i-n_f é o número de mols que escapou.
  • Finalmente, o volume desse gás escapado medido nas condições ambiente (P_a,T_a) é
V_{\text{esc}} = n_{\text{esc}}\cdot\frac{R T_a}{P_a}.
Vou usar a manipulação algébrica para eliminar R e obter uma expressão direta em função dos dados, para poder calcular sem precisar do valor de R.

Passo 3

Deduzindo uma fórmula prática (mostrar cada passo):
  • Número de mols inicial:
n_i=\frac{P_i V_{\text{rec}}}{R T_i}.
  • Número de mols final (quando dentro do recipiente fica P_a e temperatura final igual a T_a, que é a temperatura ambiente indicada):
n_f=\frac{P_a V_{\text{rec}}}{R T_a}.
  • Mols que escaparam:
n_{\text{esc}}=n_i-n_f=\frac{P_i V_{\text{rec}}}{R T_i}-\frac{P_a V_{\text{rec}}}{R T_a}.
  • Volume do gás escapado medido nas condições ambiente (P_a,T_a):
V_{\text{esc}}=n_{\text{esc}}\cdot\frac{R T_a}{P_a}.
Substituindo n_{\text{esc}} e simplificando (note que R cancela):
V_{\text{esc}}=\left(\frac{P_i V_{\text{rec}}}{R T_i}-\frac{P_a V_{\text{rec}}}{R T_a}\right)\cdot\frac{R T_a}{P_a} =V_{\text{rec}}\left(\frac{P_i T_a}{P_a T_i}-1\right).
Essa expressão é muito prática: primeiro calcula-se o fator \dfrac{P_i T_a}{P_a T_i}, subtrai-se 1 e multiplica-se por V_{\text{rec}}.

Passo 4

Converter temperaturas para Kelvin e calcular o fator numérico:
  • Converter temperaturas:
T_i = 40^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 40 = 313{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_a = 56^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 56 = 329{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular o quociente:
\frac{P_i T_a}{P_a T_i} =\frac{20\cdot 329{,}15}{1{,}04\cdot 313{,}15}.
Agora faço as contas em passos claros:
P_i T_a = 20\cdot 329{,}15 = 6583{,}0,
P_a T_i = 1{,}04\cdot 313{,}15 = 325{,}676.
Logo
\frac{P_i T_a}{P_a T_i}=\frac{6583{,}0}{325{,}676}\approx 20{,}21334.

Passo 5

Calcular o volume escapado usando a fórmula obtida:
V_{\text{esc}}=V_{\text{rec}}\left(\frac{P_i T_a}{P_a T_i}-1\right) =40\\ \mathrm{L}\times(20{,}21334-1).
V_{\text{esc}}=40\\ \mathrm{L}\times 19{,}21334 \approx 768{,}53\\ \mathrm{L}.
Arredondando de forma consistente com os dados, obtemos aproximadamente 768{,}5\\ \mathrm{L} ou, com três algarismos significativos, 769\\ \mathrm{L}.
Força aí — quase tudo é conta de proporção com a lei dos gases. Não tenha pânico: aplica-se sempre a mesma ideia: converter temperaturas para Kelvin, usar n\propto P/T e cuidar das unidades.

Resposta

768{,}5\\ \mathrm{L}

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