(Ufla 2010) Duas barras metálicas A e B de um mesmo material e a uma mesma temperatura inicial têm comprimento L_{O A} e L_{O B}=3 L_{O A}. A seguir, varia-se a temperatura da barra A de \Delta T_{A}, o que faz a barra A sofrer uma variação de dilatação \Delta \mathrm{L}_{\mathrm{A}}. Para que a barra B sofra a mesma variação de comprimento da barra A, qual deve ser a variação de temperatura da barra B, \triangle T B, relativa à \Delta L_{A} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação clara entre variações de temperatura:
  • Duas barras metálicas A e B são do mesmo material e partem da mesma temperatura inicial.
  • Os comprimentos iniciais são \:L_{0A} e \:L_{0B}=3\,L_{0A}.
  • A barra A sofre uma variação de temperatura \Delta T_{A} e, por isso, uma variação de comprimento \Delta L_{A}.
  • Quer-se saber qual deve ser a variação de temperatura da barra B, \Delta T_{B}, para que a barra B sofra a mesma variação de comprimento da barra A; isto é, para que \Delta L_{B}=\Delta L_{A}.

Passo 2

Relembrando a lei da dilatação linear (a parte teórica que você precisa dominar para a prova).
  • Para um material homogêneo e numa variação de temperatura pequena, a variação de comprimento é dada pela fórmula da dilatação linear:
\Delta L = \alpha\,L_{0}\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação de comprimento (diferença entre comprimento final e inicial),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (constante do material),
  • L_{0} é o comprimento inicial,
  • \Delta T é a variação de temperatura.
Expliquei isso porque é a fórmula que relaciona diretamente comprimento inicial, variação de temperatura e variação de comprimento — exatamente o que o exercício pede que usemos.

Passo 3

Aplicando a fórmula para cada barra separadamente.
  • Para a barra A:
\Delta L_{A} = \alpha\,L_{0A}\,\Delta T_{A}.
  • Para a barra B:
\Delta L_{B} = \alpha\,L_{0B}\,\Delta T_{B}.
Como as barras são do mesmo material, o coeficiente \alpha é o mesmo para ambas.

Passo 4

Impor a condição pedida no enunciado: a barra B deve ter a mesma variação de comprimento que A. Ou seja,
\Delta L_{B} = \Delta L_{A}.
Substituindo as expressões da etapa anterior:
\alpha\,L_{0B}\,\Delta T_{B} = \alpha\,L_{0A}\,\Delta T_{A}.
Podemos simplificar \alpha (não nulo) dos dois lados:
L_{0B}\,\Delta T_{B} = L_{0A}\,\Delta T_{A}.

Passo 5

Agora usamos a relação dada entre os comprimentos iniciais: \,L_{0B}=3\,L_{0A}. Substituindo:
(3\,L_{0A})\,\Delta T_{B} = L_{0A}\,\Delta T_{A}.
Simplificando L_{0A} dos dois lados (também não nulo):
3\,\Delta T_{B} = \Delta T_{A}.

Passo 6

Isolando \Delta T_{B}:
\Delta T_{B} = \frac{\Delta T_{A}}{3}.
Interpretação prática: como a barra B é três vezes mais longa inicialmente, ela precisa de apenas um terço da variação de temperatura de A para aumentar o comprimento exatamente pela mesma quantidade \Delta L_{A}.

Resposta

\displaystyle \Delta T_{B}=\frac{\Delta T_{A}}{3}

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