Um recipiente contém n mols de um certo gás com massa molar M, calor específico molar a volume constante \boldsymbol{c}_{\boldsymbol{v}}, que está a uma temperatura absoluta \boldsymbol{T}. Uma quantidade de calor Q é cedida ao gás, ao mesmo tempo em que se controla a pressão externa para garantir que o volume do recipiente não se altere no processo. Supondo que todo o calor foi direcionado ao gás, a variação da velocidade r.m.s. das moléculas do gás após o processo é:
a. \sqrt{\frac{3 R T}{M}}\left(\sqrt{1+\frac{Q}{n c_{v} T}}-1\right)
b. \sqrt{\frac{3 R T}{M}}\left(\sqrt{1+\frac{2 Q}{3 n R T}}-1\right)
c. \sqrt{\frac{3 R T}{M}} \frac{Q}{n c_{v} T}
d. \frac{R Q}{n M c_{v}}
e. \frac{3 R Q}{n M c_{v}}

Passo 1

O enunciado dá um gás contido num recipiente de volume constante com n mols, massa molar M, calor específico molar a volume constante c_v e temperatura inicial T. Recebe calor Q sem alterar o volume. Queremos a variação da velocidade r.m.s. das moléculas, sabendo que
\upsilon_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}.

Passo 2

Como o volume é constante, o trabalho W=0 e todo o calor Q vai para a energia interna. Portanto, pela primeira lei da termodinâmica em processo isocórico,
Q = \Delta U = n\,c_v\,\Delta T.
Logo,
\Delta T = \frac{Q}{n\,c_v}.

Passo 3

A velocidade r.m.s. inicial é
\upsilon_{\text{rms},i} = \sqrt{\frac{3R\,T}{M}}.
Após o aquecimento, a temperatura fica
T' = T + \Delta T = T + \frac{Q}{n\,c_v},
e a velocidade r.m.s. final é
\upsilon_{\text{rms},f} = \sqrt{\frac{3R\,T'}{M}} = \sqrt{\frac{3R}{M}\Bigl(T + \tfrac{Q}{n\,c_v}\Bigr)}.

Passo 4

A variação da velocidade r.m.s. é
\Delta \upsilon_{\text{rms}} = \upsilon_{\text{rms},f} - \upsilon_{\text{rms},i} = \sqrt{\frac{3R}{M}}\Bigl(\sqrt{T + \tfrac{Q}{n\,c_v}} - \sqrt{T}\Bigr).
Fatorando \sqrt{T}, obtemos
\Delta \upsilon_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3R\,T}{M}}\Bigl(\sqrt{1 + \tfrac{Q}{n\,c_v\,T}} - 1\Bigr).

Resposta

a. \sqrt{\frac{3 R T}{M}}\left(\sqrt{1+\frac{Q}{n c_{v} T}}-1\right)

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