Considere dois recipientes idênticos, um deles contendo um mol de gás monoatômico A de massa 1,4 \times 10^{-27} \mathrm{Kg} e o outro um mol de gás monoatômico B de massa 0,4 \times 10^{-27} \mathrm{Kg}, ambos a mesma pressão de 3,2 \mathrm{Atm} e temperatura 22^{\circ} \mathrm{C}. Calcule qual deveria ser a temperatura em Kelvin do recipiente contendo o gás A , para que as moléculas de A e B tenham a mesma velocidade quadrática média. Considere T_{k}=T_{c}+273,15. Resposta com números inteiros.

Passo 1

O enunciado descreve dois recipientes idênticos, cada um com um mol de gás monoatômico: o gás A com massa molecular m_A=1,4\times10^{-27}\,\mathrm{kg} e o gás B com massa molecular m_B=0,4\times10^{-27}\,\mathrm{kg}. Ambos estão à mesma pressão e o gás B está a 22^\circ\mathrm{C}. Queremos achar a temperatura em Kelvin do gás A, T_A, de modo que a velocidade quadrática média de A seja igual à de B. Vamos usar a fórmula da velocidade quadrática média:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}
em que k_B é a constante de Boltzmann, T a temperatura absoluta e m a massa de uma molécula.

Passo 2

Escrevemos as expressões de v_{\mathrm{rms}} para cada gás:
v_{\mathrm{rms},A} = \sqrt{\frac{3k_B\,T_A}{m_A}}
v_{\mathrm{rms},B} = \sqrt{\frac{3k_B\,T_B}{m_B}}

Passo 3

Para que as velocidades sejam iguais, impomos
\sqrt{\frac{3k_B\,T_A}{m_A}} = \sqrt{\frac{3k_B\,T_B}{m_B}}
Elevando ao quadrado e simplificando 3k_B, obtemos
\frac{T_A}{m_A} = \frac{T_B}{m_B} \quad\Longrightarrow\quad T_A = T_B\,\frac{m_A}{m_B}.

Passo 4

Convertendo a temperatura do gás B de Celsius para Kelvin:
T_B = 22 + 273,15 = 295,15\;\mathrm{K}.

Passo 5

Substituindo os valores:
T_A = 295{,}15 \times \frac{1{,}4\times10^{-27}}{0{,}4\times10^{-27}} = 295{,}15 \times 3{,}5 \approx 1033{,}0\;\mathrm{K}.

Resposta

1033\;\mathrm{K}

Exercícios relacionados