Relação fundamental e radiação de corpo negro, semelhante ao problema 2.9 da Reichl
As equações de estado térmica e mecânica que descrevem um gás de fótons numa cavidade são respectivamente
e
, onde
é uma constante.
Mostre que a relação fundamental molar é dada por
, onde
é um valor constante de referência que nesse caso pode ser tomado como nulo.
As equações de estado térmica e mecânica que descrevem um gás de fótons numa cavidade são respectivamente
Mostre que a relação fundamental molar é dada por
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é achar a entropia S como função de U e V pra um gás de fótons (isso é a “relação fundamental”). A matéria é Termodinâmica, mais especificamente os potenciais termodinâmicos e as equações de estado.
O que temos:
O que temos:
- U = a V T⁴
- p = a T⁴/3
E a gente sabe que, em geral, dU = T dS – p dV.
O objetivo: achar S(U,V) e depois dividir tudo por N pra chegar em s(u,v) = S/N.
Passo 2
Começa isolando dS a partir de dU = T dS – p dV:
dS = (dU + p dV)/T
Ou seja,
∂S/∂U|_V = 1/T
e
∂S/∂V|_U = p/T.
dS = (dU + p dV)/T
Ou seja,
∂S/∂U|_V = 1/T
e
∂S/∂V|_U = p/T.
Passo 3
Precisamos expressar 1/T e p/T em termos de U e V.
Da primeira equação U = a V T⁴ tiramos
T⁴ = U/(a V) ⇒ T = (U/(a V))^{1/4}.
Logo
1/T = (a V/U)^{1/4}.
E
p/T = (a T⁴/3)/T = (a/3) T³ = (a/3)·(U/(a V))^{3/4} = (a^{1/4}/3) U^{3/4} V^{–3/4}.
Da primeira equação U = a V T⁴ tiramos
T⁴ = U/(a V) ⇒ T = (U/(a V))^{1/4}.
Logo
1/T = (a V/U)^{1/4}.
E
p/T = (a T⁴/3)/T = (a/3) T³ = (a/3)·(U/(a V))^{3/4} = (a^{1/4}/3) U^{3/4} V^{–3/4}.
Passo 4
Agora integramos S(U,V). Primeiro em U, tratando V como constante:
S(U,V) = ∫ (∂S/∂U)_V dU + g(V)
= ∫ (a V/U)^{1/4} dU + g(V)
= a^{1/4} V^{1/4} ∫ U^{–1/4} dU + g(V)
= a^{1/4} V^{1/4} · (U^{3/4}/(3/4)) + g(V)
= (4/3) a^{1/4} V^{1/4} U^{3/4} + g(V).
S(U,V) = ∫ (∂S/∂U)_V dU + g(V)
= ∫ (a V/U)^{1/4} dU + g(V)
= a^{1/4} V^{1/4} ∫ U^{–1/4} dU + g(V)
= a^{1/4} V^{1/4} · (U^{3/4}/(3/4)) + g(V)
= (4/3) a^{1/4} V^{1/4} U^{3/4} + g(V).
Pra achar g(V), imponha ∂S/∂V|_U = p/T:
∂/∂V[(4/3)a{1/4}V{1/4}U^{3/4} + g(V)] = (a{1/4}/3)U{3/4}V^{–3/4}.
O termo em g′(V) tem que ser zero, então g′(V)=0 ⇒ g(V)=const = S₀.
∂/∂V[(4/3)a{1/4}V{1/4}U^{3/4} + g(V)] = (a{1/4}/3)U{3/4}V^{–3/4}.
O termo em g′(V) tem que ser zero, então g′(V)=0 ⇒ g(V)=const = S₀.
Passo 5
Então a relação fundamental é
S(U,V) = (4/3) a^{1/4} V^{1/4} U^{3/4} + S₀.
Dividindo por N (número de mols) definimos u=U/N, v=V/N e s=S/N:
s(u,v) = (4/3) [a v u³]^{1/4} + s₀.
S(U,V) = (4/3) a^{1/4} V^{1/4} U^{3/4} + S₀.
Dividindo por N (número de mols) definimos u=U/N, v=V/N e s=S/N:
s(u,v) = (4/3) [a v u³]^{1/4} + s₀.
Resposta
s(u,v) = \frac{4}{3}\bigl(a,v,u{3}\bigr){1/4} + s_{0}