Relação fundamental e radiação de corpo negro, semelhante ao problema 2.9 da Reichl
As equações de estado térmica e mecânica que descrevem um gás de fótons numa cavidade são respectivamente
e
, onde
é uma constante.
Mostre que esse modelo satisfaz a
Lei da Termodinâmica.
As equações de estado térmica e mecânica que descrevem um gás de fótons numa cavidade são respectivamente
Mostre que esse modelo satisfaz a
Passo 1
Então, o exercício diz que num gás de fótons confinado em uma cavidade temos as seguintes equações de estado:
U = a · V · T⁴ e p = (a · T⁴)/3,
onde a é constante, V é o volume e T a temperatura. A tarefa é mostrar que esse modelo satisfaz a 3ª Lei da Termodinâmica, ou seja, que a entropia S tende a zero quando T→0.
Conteúdo envolvido: Termodinâmica (definição de entropia, 1ª Lei) e radiação de corpo negro. Vamos usar dU = T dS – p dV para achar S(T,V) e verificar o limite T→0.
U = a · V · T⁴ e p = (a · T⁴)/3,
onde a é constante, V é o volume e T a temperatura. A tarefa é mostrar que esse modelo satisfaz a 3ª Lei da Termodinâmica, ou seja, que a entropia S tende a zero quando T→0.
Conteúdo envolvido: Termodinâmica (definição de entropia, 1ª Lei) e radiação de corpo negro. Vamos usar dU = T dS – p dV para achar S(T,V) e verificar o limite T→0.
Passo 2
Primeiro, lembra da 1ª Lei no diferencial para um processo reversível:
dU = T dS – p dV.
A gente quer isolar dS:
dS = (dU + p dV) / T.
Isso diz como a entropia muda em função de pequenas variações de U e V.
dU = T dS – p dV.
A gente quer isolar dS:
dS = (dU + p dV) / T.
Isso diz como a entropia muda em função de pequenas variações de U e V.
Passo 3
Agora, substitui U = a V T⁴ e p = (a T⁴)/3 em dS:
– Calcula dU:
dU = d(a V T⁴) = a T⁴ dV + a V · 4 T³ dT.
– Então
dS = [a T⁴ dV + 4 a V T³ dT + p dV] / T
= [a T⁴ dV + 4 a V T³ dT + (a T⁴/3) dV] / T
= [a T⁴ (1 + 1/3) dV + 4 a V T³ dT] / T.
Como 1 + 1/3 = 4/3, fica
dS = [ (4/3) a T⁴ dV + 4 a V T³ dT ] / T
= (4/3) a T³ dV + 4 a V T² dT.
– Calcula dU:
dU = d(a V T⁴) = a T⁴ dV + a V · 4 T³ dT.
– Então
dS = [a T⁴ dV + 4 a V T³ dT + p dV] / T
= [a T⁴ dV + 4 a V T³ dT + (a T⁴/3) dV] / T
= [a T⁴ (1 + 1/3) dV + 4 a V T³ dT] / T.
Como 1 + 1/3 = 4/3, fica
dS = [ (4/3) a T⁴ dV + 4 a V T³ dT ] / T
= (4/3) a T³ dV + 4 a V T² dT.
Passo 4
Precisamos agora integrar dS para achar S(T,V). Como S é função de T e V:
S(T,V) − S(T₀,V₀) = ∫ [(4/3) a T³ dV + 4 a V T² dT].
Escolhendo um processo simples em que primeiro varre V mantendo T constante e depois T variando em volume fixo, ou usando integração direta de funções independentes, a integral dá:
S(T,V) = (4/3) a V T³ + C,
onde C é constante de integração que ajustamos escolhendo S=0 em T=0 (essa é a condição natural da 3ª Lei).
S(T,V) − S(T₀,V₀) = ∫ [(4/3) a T³ dV + 4 a V T² dT].
Escolhendo um processo simples em que primeiro varre V mantendo T constante e depois T variando em volume fixo, ou usando integração direta de funções independentes, a integral dá:
S(T,V) = (4/3) a V T³ + C,
onde C é constante de integração que ajustamos escolhendo S=0 em T=0 (essa é a condição natural da 3ª Lei).
Passo 5
Agora, verifica o limite quando T→0:
S(T,V) = (4/3) a V T³ + C, mas para satisfazer a 3ª Lei, a entropia no zero absoluto deve ser zero, então C=0.
Logo
S(T,V) = (4/3) a V T³.
Quando T→0, T³→0 ⇒ S→0.
S(T,V) = (4/3) a V T³ + C, mas para satisfazer a 3ª Lei, a entropia no zero absoluto deve ser zero, então C=0.
Logo
S(T,V) = (4/3) a V T³.
Quando T→0, T³→0 ⇒ S→0.
Resposta
Satisfaz a 3ª Lei da Termodinâmica porque a entropia do gás de fótons é S = (4/3) a V T³ e, portanto, S→0 quando T→0.