Resolva:
4.40 WP Refrigerant 134a enters an air conditioner compressor at 4 \mathrm{bar}, 20^{\circ} \mathrm{C}, and is compressed at steady state to 12 \mathrm{bar}, 80^{\circ} \mathrm{C}. The volumetric flow rate of the refrigerant entering is 4 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. The work input to the compressor is 60 kJ per kg of refrigerant flowing. Neglecting kinetic and potential energy effects, determine the heat transfer rate, in kW .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
  • Dados fornecidos:
    • Pressão de entrada: P_1 = 4\\ \mathrm{bar}.
    • Temperatura de entrada: T_1 = 20^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão de saída: P_2 = 12\\ \mathrm{bar}.
    • Temperatura de saída: T_2 = 80^\circ\mathrm{C}.
    • Vazão volumétrica na entrada: \dot{V} = 4\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}.
    • Trabalho de compressão (entrada por kg): w_{\text{in}} = 60\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Desprezar efeitos de energia cinética e potencial; regime estacionário (estado estacionário).
  • O que é pedido:
    • Determinar a taxa de transferência de calor \dot{Q} (em kW) associada ao compressor, isto é, o calor que entra (+) ou sai (−) do fluido por unidade de tempo.

Passo 2

Modelo físico e equação de energia (explicando do zero, passo a passo)
  • Em um dispositivo de escoamento estacionário com uma entrada e uma saída (como um compressor), a primeira lei (balanço de energia) escrita por unidade de tempo é, de forma geral:
    \dot{Q} - \dot{W}_{\text{shaft}} + \dot{m} h_1 = \dot{m} h_2,
    onde:
    • \dot{Q} é a taxa de calor transferida para o fluido (kJ/s = kW). Sinal positivo quando o fluido recebe calor.
    • \dot{W}_{\text{shaft}} é a potência de eixo fornecida pelo sistema (kJ/s). Sinal positivo quando o sistema realiza trabalho sobre o entorno (no compressor típico o eixo recebe potência do motor; o trabalho sobre o fluido é entrada).
    • \dot{m} é a vazão mássica (kg/s).
    • h_1 e h_2 são as entalpias específicas na entrada e na saída (kJ/kg).
  • Como o enunciado fornece o trabalho por kg que é fornecido AO fluido, definimos w_{\text{in}}=60\\ \mathrm{kJ/kg} como o trabalho de compressão POR QUILOGRAMA (positivo quando trabalho é feito sobre o fluido). A relação entre \dot{W}_{\text{shaft}} e w_{\text{in}} é
    \dot{W}_{\text{shaft}} = -\dot{m}\, w_{\text{in}},
    porque \dot{W}_{\text{shaft}} na equação padrão é o trabalho realizado PELO sistema; como no compressor o trabalho é aplicado AO sistema, esse termo é negativo.
  • Substituindo na equação do balanço e rearranjando para \dot{Q}:
    \dot{Q} = \dot{m}\,(h_2 - h_1) + \dot{W}_{\text{shaft}} = \dot{m}\,(h_2 - h_1) - \dot{m}\,w_{\text{in}}.
    Agrupando:
    \dot{Q} = \dot{m}\,\bigl(h_2 - h_1 - w_{\text{in}}\bigr).
  • Interpretação física simples: a variação de entalpia por kg ( h_2-h_1) é causada pela soma do trabalho aplicado por kg ( w_{\text{in}}) e do calor por kg ( q); isolando o calor por kg dá q = h_2-h_1-w_{\text{in}}. Multiplicando por \dot{m} dá a taxa de calor \dot{Q}.

Passo 3

Como obter a vazão mássica \dot{m} a partir da vazão volumétrica (passo a passo de conta e unidades)
  • A relação entre vazão volumétrica \dot{V} e vazão mássica \dot{m} é: \dot{m} = \frac{\dot{V}}{v_1},onde v_1 é o volume específico do refrigerante na entrada (m^3/kg) — ou seja, v_1 = 1/\rho_1.
  • Converter a vazão volumétrica dada para unidades SI (m^3/s): \dot{V} = 4\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} = \frac{4}{60}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Portanto \dot{m} = \frac{4/60}{v_1}\quad\text{(kg/s)},desde que v_1 esteja em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 4

O que falta do enunciado e como obter (uso de tabelas de propriedades do R-134a) — por que não dá para finalizar numericamente sem isso
  • Para calcular numericamente \dot{Q} é preciso conhecer:
    • v_1 = volume específico na condição de entrada ( P_1=4\\ \mathrm{bar},\,T_1=20^\circ\mathrm{C});
    • h_1 = entalpia específica na entrada ( P_1,\,T_1);
    • h_2 = entalpia específica na saída ( P_2=12\\ \mathrm{bar},\,T_2=80^\circ\mathrm{C}).
  • Esses valores ( v_1,\\ h_1,\\ h_2) são propriedades termodinâmicas do fluido R-134a e devem ser lidos nas tabelas de vapor saturado e superaquecido do R-134a (ou obtidos por software/propriedades).
  • Procedimento para usar as tabelas (passo a passo prático que se faz na prova):
    1. Verificar na tabela de saturação de R-134a qual é a temperatura de saturação correspondente a P_1=4\\ \mathrm{bar}. Se T_1>T_{\text{sat}}(P_1), o fluido está na região superaquecida; então consultar a tabela de vapor superaquecido a P=4\\ \mathrm{bar} e ler v_1 e h_1 na linha correspondente a T=20^\circ\mathrm{C}. Se T_1=T_{\text{sat}}, então usar h_g e v_g da tabela de saturação.
    2. Para a saída, consultar a tabela de vapor superaquecido a P_2=12\\ \mathrm{bar} e ler h_2 para T_2=80^\circ\mathrm{C} (ou usar saturação se T_2 for igual a T_{\text{sat}}(P_2)).
    3. Certificar unidades: em tabelas de R-134a normalmente h vem em \mathrm{kJ/kg} e v em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}. Então o produto \dot{m}\times(h_2-h_1-w_{\text{in}}) dará \mathrm{kJ/s}=\mathrm{kW}.
  • Sem esses números de tabela não é possível fornecer um valor numérico exato para \dot{Q}. Portanto é imprescindível consultar as tabelas do R-134a.

Passo 5

Expressão final prática para calcular \dot{Q} e instruções finais (como calcular na prova)
  • Reunindo tudo, a fórmula para a taxa de calor (em kW) é: \dot{Q} \;=\; \dot{m}\,\bigl(h_2 - h_1 - w_{\text{in}}\bigr),com \dot{m} = \frac{\dot{V}}{v_1} \quad\text{e}\quad \dot{V}=\frac{4}{60}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, \quad w_{\text{in}}=60\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Substituindo a expressão de \dot{m} obtém-se uma única expressão pronta para avaliar assim que os valores das tabelas forem lidos: \dot{Q} \;=\; \frac{4/60}{v_1}\,\bigl(h_2 - h_1 - 60\bigr)\quad\text{(kW)},onde v_1 está em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} e h_1,h_2 em \mathrm{kJ/kg}.
  • Passos que o estudante deve executar na prova (resumo rápido):
    1. Consultar tabelas de R-134a e extrair v_1 e h_1 para (P_1,T_1).
    2. Consultar tabelas de R-134a e extrair h_2 para (P_2,T_2).
    3. Calcular \dot{m}=(4/60)/v_1.
    4. Calcular \dot{Q}=\dot{m}(h_2-h_1-60). O resultado já estará em kW (pois \mathrm{kJ/kg}\times\mathrm{kg/s}=\mathrm{kJ/s}=\mathrm{kW}).
  • Observação sobre sinal: se \dot{Q} sair positivo, significa que calor foi fornecido AO fluido (fluido recebeu calor). Se negativo, significa que o fluido perdeu calor (o compressor está rejeitando calor para o ambiente).

Resposta

\dot{Q} \;=\; \frac{4/60}{v_1}\,\bigl(h_2 - h_1 - 60\bigr)\\ \text{(kW)},
onde v_1, h_1 e h_2 devem ser lidos nas tabelas do R-134a para as condições (P_1=4\\ \mathrm{bar},T_1=20^\circ\mathrm{C}) e (P_2=12\\ \mathrm{bar},T_2=80^\circ\mathrm{C}).

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