6.21 Considere uma mistura entre as substâncias 1,2 e 3 . Dispõe-se da seguinte equaçāo de estàt para a fase vapor:
onde
e
e
são as frações molares das espécies 1,2 e 3 , respectivamente. Considere uma mistunat fase vapor com 1 mol da substância 1,2 moles da substância 2 e 2 moles da substância 3 , a uma preaż de 50 atm e à temperatura de 500 K . Calcule as seguintes grandezas:
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação de estado para a fase vapor
com os parâmetros normalizados por
:
A mistura contém
,
e
mols, a pressão é
e a temperatura é
. O problema pede os seguintes itens:
-
: volume molar da mistura (L·mol^{-1}); -
: volume total da mistura (L); -
: volumes molares das substâncias 1, 2 e 3 na condição indicada (interpreto como volumes molares das substâncias puras a ); -
: volume molar parcial da espécie 1 (partial molar volume) na mistura.
Dados usados (consistentes com unidades atm e L): a constante dos gases
Não há informações adicionais faltando; vou calcular passo a passo.
Passo 2
Calcular as frações molares da mistura (já que aparecem na equação):
o número total de mols é
o número total de mols é
As frações molares são
Logo
Passo 3
Isolar
na equação de estado. A equação já dá diretamente:
É conveniente escrever
e
em função de
usando os coeficientes fornecidos:
Substituindo:
Assim a dependência em
fica explícita e as contas ficam diretas.
Passo 4
Calcular numericamente
e o termo
.
Agora calcule o termo adicional que depende das frações molares:
Multiplicando por
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Arredondando com boa precisão:
Passo 5
Calcular o volume total
. Como
e
,
Arredondando:
Passo 6
Calcular os volumes molares das substâncias puras (
) a
. Para uma substância pura a fração molar relevante muda conforme quem está puro:
- Para a substância 1 pura:
. - Para a substância 2 pura:
. - Para a substância 3 pura:
.
Usando
e lembrando
, podemos usar diretamente os coeficientes:
- Para
(pura 1):
Arredondando:
- Para
(pura 2):
Arredondando:
- Para
(pura 3):
Arredondando:
Passo 7
Calcular o volume molar parcial
da espécie 1, definido como a derivada do volume total em relação a
à temperatura e pressão constantes:
Usamos a expressão obtida para
. Reescrevendo
explicitamente em função de
(mantendo
fixos):
onde
. O volume total é
. É vantajoso manipular explicitamente:
O último termo simplifica porque o
cancela:
Agora derivar em relação a
com
fixos (portanto
):
Os dois primeiros termos dão
e
(pois
e
são constantes), o último termo dá
. Logo
Voltando às formas em
(ou observando que isto é exatamente a expressão de
quando
), notamos que
Isto coincide com
(o volume molar da substância 1 pura) — consequência da dependência linear na composição da equação de estado.
Passo 8
Substituir numericamente para obter
. Já calculamos este valor em Passo 6 para
: