Quais são as hipóteses para a EQUAÇĂO DA CONTINUIDADE?
Passo 1
O enunciado pergunta explicitamente: “Quais são as hipóteses para a EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE?”
Informação disponível: somente essa pergunta; portanto preciso listar e explicar as hipóteses (pressupostos) que permitem escrever e usar a equação da continuidade nas suas formas mais comuns.
Informação disponível: somente essa pergunta; portanto preciso listar e explicar as hipóteses (pressupostos) que permitem escrever e usar a equação da continuidade nas suas formas mais comuns.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a equação da continuidade — com calma e sem pressa. A ideia física central é a conservação da massa: a massa dentro de uma região do fluido só pode mudar se massa entrar ou sair dessa região. Para formalizar isso precisamos definir duas grandezas que aparecem na equação:
é a densidade do fluido (massa por volume) no ponto
e tempo
.
é o campo de velocidade do fluido (um vetor que diz para onde e quão rápido o fluido se move).
Essas duas funções precisam existir para escrevemos qualquer forma da continuidade.
Essas duas funções precisam existir para escrevemos qualquer forma da continuidade.
Passo 3
Agora a forma integral (que vem direto da conservação de massa) para um volume de controle
fixo é:
onde
é a superfície que limites o volume
e
é o vetor normal à superfície apontando para fora. Essa equação diz: taxa de variação da massa dentro de
mais o fluxo de massa que sai pela superfície é zero. Para chegar aqui a hipótese essencial é apenas a conservação de massa (não há criação nem destruição de massa dentro do volume).
Passo 4
Para obter a forma diferencial usamos o Teorema da Divergência (Gauss). Aplicando esse teorema à integral de superfície obtemos a forma local da continuidade:
Significado de cada termo:
é a taxa local de variação temporal da densidade;
mede o quanto a massa está divergindo (saindo) do ponto por causa do movimento do fluido.
Passo 5
Quais hipóteses/pressupostos matemáticos e físicos foram usados até aqui (essas são as hipóteses da forma geral da equação)?
- Hipótese da continuidade do meio (continuuum hypothesis): o fluido pode ser descrito por campos contínuos
e ; faz sentido falar de densidade em cada ponto (não tratamos partículas discretas individuais). - Existência e suavidade das funções:
e são suficientemente diferenciáveis para permitir derivadas temporais e espaciais (para usar e ). - Conservação de massa local: não há fontes ou sumidouros de massa no interior do volume (ou, se houver, devem ser incluídos explicitamente como termos de fonte).
- Volume de controle fixo (ou uso apropriado do teorema de Reynolds para volumes de controle móveis — se o volume for móvel a forma integral muda por termos adicionais).
- Aplicabilidade do Teorema da Divergência (regiões com fronteiras bem-comportadas, etc.).
Passo 6
Agora as hipóteses usadas para simplificações comuns — primeiro: incompressibilidade. Se o fluido é incompressível assumimos:
(ou pelo menos
constante ao longo do fluxo). Substituindo na forma diferencial a densidade constante sai da derivada espacial e temporal e obtemos:
Hipóteses adicionais aqui: densidade constante (não varia no espaço nem no tempo) e as hipóteses anteriores (continuidade, diferenciabilidade, conservação de massa).
Passo 7
Outra simplificação muito usada é o caso de regime estacionário (steady flow). Regime estacionário significa que nada muda no tempo nos pontos fixos do espaço:
Então a forma diferencial vira:
Se além de estacionário o fluido for incompressível, isso reduz para
.
Passo 8
Forma 1D ou integral que aparece em muitos exercícios de prova: a conservação da massa em uma seção do tubo leva à massa maisica constante:
onde
é a área da seção transversal e
é a velocidade média na seção. Para a forma ainda mais conhecida
(ou seja,
constante) usamos as hipóteses:
- fluxo estacionário (
); - fluido incompressível (
constante, que cancela da expressão ); - não há ganho/perda de massa entre as seções (nenhuma entrada/saída lateral);
- podemos usar a velocidade média
na seção (ou seja, aprox. perfil de velocidade uniforme ou estamos trabalhando com médias); - seções transversais consideradas perpendiculares à direção local do escoamento.
Passo 9
Resumo das hipóteses práticas que você deve sempre checar numa prova antes de aplicar alguma forma da continuidade:
- O que a questão diz sobre compressibilidade? Se o fluido for compressível, não use
nem sem incluir . - É regime estacionário? Se sim, zere as derivadas temporais.
- Há fontes ou sumidouros de massa no domínio? (se houver, inclua termo de fonte).
- Posso modelar o fluido como contínuo e as funções são diferenciáveis?
- Posso usar velocidade média na seção (ou o problema exige o perfil de velocidade)?
Resposta
Forma diferencial geral:
. Hipóteses: meio contínuo (campos
bem definidos),
e
diferenciáveis, conservação de massa (sem fontes internas), uso adequado de volume de controle (ou Reynolds para volumes móveis) e condições de regularidade para aplicar o teorema da divergência.
Incompressível: constante
. Hipótese extra: densidade constante (não varia no tempo/espaço).
Estacionário:
. Hipótese extra: não há variação temporal nos campos.
Forma 1D / tubos: constante; se incompressível e estacionário:
. Hipóteses extras para essa forma: fluxo estacionário, densidade constante (se simplificar para
), ausência de entradas/saídas laterais, e uso de velocidade média (perfil de velocidade tratado por média).
Incompressível:
Estacionário:
Forma 1D / tubos: