6.26 Considere um motor térmico de Camot que opera no espaço. A única maneira deste motor rejeitar calor é por radiação térmica. A taxa de transferència de calor é proporcional à quarta potència da temperatura absoluta e a área da superficie de radiação. Mostre que, para uma dada poténcia do motor e uma dada temperatura T_{H}, a área do radiador será minima se T_{1} / T_{H}=3 / 4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para um motor de Carnot que opera no espaço e que só rejeita calor por radiação, que a área do radiador é mínima quando \dfrac{T_{1}}{T_{H}}=\dfrac{3}{4}, dado que a potência do motor e a temperatura quente \,T_{H}\, são fixas. Informações e definições que vamos usar (tudo já dado ou natural no problema):
  • O motor é um ciclo de Carnot entre a fonte quente de temperatura \,T_{H}\, e o reservatório frio de temperatura \,T_{1} (que é a temperatura do radiador).
  • A potência útil (taxa de trabalho) fornecida pelo motor é uma quantidade fixa; vamos chamar essa potência de \,P.
  • A rejeição de calor do motor ao espaço ocorre apenas por radiação térmica; a taxa de rejeição de calor é proporcional à área do radiador e à quarta potência da temperatura absoluta do radiador.
  • Podemos representar a lei da radiação por \,\dot Q_C = k\,A\,T_{1}^4, onde \,k é uma constante de proporcionalidade positiva que incorpora a constante de Stefan–Boltzmann e a emissividade (assumimos ambiente a temperatura desprezível).
  • Objetivo: encontrar o valor de \,T_{1} (ou melhor, da razão \,T_{1}/T_{H}) que torna a área \,A mínima, mantendo \,P e \,T_{H} fixos.

Passo 2

Relembrando a relação fundamental do ciclo de Carnot (explicando por que usamos isso): a eficiência térmica de um motor de Carnot depende apenas das temperaturas das duas reservas e é dada por
\eta = 1 - \frac{T_{1}}{T_{H}}.
Aqui \eta é a fração da energia térmica absorvida da fonte quente que é convertida em trabalho; \,T_{H} é a temperatura da fonte quente e \,T_{1} é a temperatura do reservatório frio. Essa fórmula vem do fato de que o ciclo de Carnot é reversível e atinge a máxima eficiência possível entre duas temperaturas.

Passo 3

Relacionando potência, calor absorvido e rejeitado: se \dot Q_H é a taxa de calor absorvida da fonte quente, a potência do motor é
P = \eta \,\dot Q_H.
A taxa de calor rejeitada ao reservatório frio é
\dot Q_C = \dot Q_H - P.
Substituímos \dot Q_H em função de P e \eta. Como \dot Q_H = P/\eta, obtemos
\dot Q_C = \frac{P}{\eta} - P = P\!\left(\frac{1}{\eta}-1\right).
Para simplificar a álgebra, introduzimos a razão adimensional
\tau \equiv \frac{T_{1}}{T_{H}}.
Então \eta = 1-\tau. Substituindo \eta em \dot Q_C,
\dot Q_C = P\!\left(\frac{1}{1-\tau}-1\right) = P\!\left(\frac{1-(1-\tau)}{1-\tau}\right) = P\frac{\tau}{1-\tau}.
Portanto temos uma expressão simples para a taxa de calor rejeitada em termos de P e \tau:
\dot Q_C = P\,\frac{\tau}{1-\tau}.

Passo 4

Agora usemos a lei da radiação (explicando o que ela diz): a taxa de calor irradiada por um corpo ideal é proporcional à área e à quarta potência da sua temperatura absoluta. Escrevemos
\dot Q_C = k\,A\,T_{1}^4,
onde \,k>0 é a constante de proporcionalidade (por exemplo k=\varepsilon\sigma com emissividade \varepsilon e constante de Stefan–Boltzmann \sigma), \,A é a área do radiador e \,T_{1} é a temperatura do radiador em kelvin. Esta é a única maneira de rejeitar calor no problema.

Passo 5

Igualamos as duas expressões para \dot Q_C obtidas nos passos anteriores:
P\,\frac{\tau}{1-\tau} = k\,A\,T_{1}^4.
Substituímos T_{1} = \tau\,T_{H} no lado direito:
P\,\frac{\tau}{1-\tau} = k\,A\,(\tau\,T_{H})^4 = k\,A\,\tau^4\,T_{H}^4.
Isolando a área A,
A = \frac{P}{k\,T_{H}^4}\cdot\frac{1}{\tau^3(1-\tau)}.
Observe que \dfrac{P}{k\,T_{H}^4} é uma constante fixa (porque o enunciado fixa P e T_H); portanto minimizar A em função de \tau equivale a minimizar a função adimensional
f(\tau) \equiv \frac{1}{\tau^3(1-\tau)},
para \tau no intervalo aberto (0,1) (já que 0<T_{1}<T_{H} para um motor que produz trabalho).

Passo 6

Para minimizar f(\tau) de forma mais fácil fazemos uma transformação logarítmica (isso simplifica diferenciação e evita manipular frações complicadas). Calculamos
\ln f(\tau) = -3\ln\tau - \ln(1-\tau).
Derivando em relação a \tau,
\frac{d}{d\tau}\ln f(\tau) = -\frac{3}{\tau} + \frac{1}{1-\tau}.
O ponto crítico satisfaz \dfrac{d}{d\tau}\ln f(\tau)=0, logo
-\frac{3}{\tau} + \frac{1}{1-\tau} = 0.
Resolvendo essa equação:
\frac{1}{1-\tau} = \frac{3}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad \tau = 3(1-\tau) \quad\Longrightarrow\quad \tau = 3 - 3\tau \quad\Longrightarrow\quad 4\tau = 3 \quad\Longrightarrow\quad \tau = \frac{3}{4}.

Passo 7

Precisamos verificar que esse ponto crítico é de mínimo. Calculamos a segunda derivada de \ln f:
\frac{d^2}{d\tau^2}\ln f(\tau) = \frac{3}{\tau^2} + \frac{1}{(1-\tau)^2},
que é claramente positiva para todo \tau\in(0,1). Como a segunda derivada de \ln f é positiva, \ln f é convexa e o ponto crítico encontrado é um mínimo. Assim f(\tau) e, consequentemente, A têm mínimo em \tau=\dfrac{3}{4}.

Passo 8

Interpretação física curta (para guardar na prova): reduzir \,T_{1} aumenta a eficiência de Carnot (melhor \eta), reduzindo a necessidade de calor absorvido, mas a potência radiada escala como T_{1}^4, então há um compromisso entre ter \,T_{1} muito baixo e a penalidade do T^4. O compromisso ótimo ocorre em \,T_{1}/T_{H}=3/4.

Resposta

\dfrac{T_{1}}{T_{H}}=\dfrac{3}{4}

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