6.26 Considere um motor térmico de Camot que opera no espaço. A única maneira deste motor rejeitar calor é por radiação térmica. A taxa de transferència de calor é proporcional à quarta potència da temperatura absoluta e a área da superficie de radiação. Mostre que, para uma dada poténcia do motor e uma dada temperatura
, a área do radiador será minima se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, para um motor de Carnot que opera no espaço e que só rejeita calor por radiação, que a área do radiador é mínima quando
, dado que a potência do motor e a temperatura quente
são fixas. Informações e definições que vamos usar (tudo já dado ou natural no problema):
- O motor é um ciclo de Carnot entre a fonte quente de temperatura
e o reservatório frio de temperatura (que é a temperatura do radiador). - A potência útil (taxa de trabalho) fornecida pelo motor é uma quantidade fixa; vamos chamar essa potência de
. - A rejeição de calor do motor ao espaço ocorre apenas por radiação térmica; a taxa de rejeição de calor é proporcional à área do radiador e à quarta potência da temperatura absoluta do radiador.
- Podemos representar a lei da radiação por
, onde é uma constante de proporcionalidade positiva que incorpora a constante de Stefan–Boltzmann e a emissividade (assumimos ambiente a temperatura desprezível). - Objetivo: encontrar o valor de
(ou melhor, da razão ) que torna a área mínima, mantendo e fixos.
Passo 2
Relembrando a relação fundamental do ciclo de Carnot (explicando por que usamos isso): a eficiência térmica de um motor de Carnot depende apenas das temperaturas das duas reservas e é dada por
Aqui
é a fração da energia térmica absorvida da fonte quente que é convertida em trabalho;
é a temperatura da fonte quente e
é a temperatura do reservatório frio. Essa fórmula vem do fato de que o ciclo de Carnot é reversível e atinge a máxima eficiência possível entre duas temperaturas.
Passo 3
Relacionando potência, calor absorvido e rejeitado: se
é a taxa de calor absorvida da fonte quente, a potência do motor é
A taxa de calor rejeitada ao reservatório frio é
Substituímos
em função de
e
. Como
, obtemos
Para simplificar a álgebra, introduzimos a razão adimensional
Então
. Substituindo
em
,
Portanto temos uma expressão simples para a taxa de calor rejeitada em termos de
e
:
Passo 4
Agora usemos a lei da radiação (explicando o que ela diz): a taxa de calor irradiada por um corpo ideal é proporcional à área e à quarta potência da sua temperatura absoluta. Escrevemos
onde
é a constante de proporcionalidade (por exemplo
com emissividade
e constante de Stefan–Boltzmann
),
é a área do radiador e
é a temperatura do radiador em kelvin. Esta é a única maneira de rejeitar calor no problema.
Passo 5
Igualamos as duas expressões para
obtidas nos passos anteriores:
Substituímos
no lado direito:
Isolando a área
,
Observe que
é uma constante fixa (porque o enunciado fixa
e
); portanto minimizar
em função de
equivale a minimizar a função adimensional
para
no intervalo aberto
(já que
para um motor que produz trabalho).
Passo 6
Para minimizar
de forma mais fácil fazemos uma transformação logarítmica (isso simplifica diferenciação e evita manipular frações complicadas). Calculamos
Derivando em relação a
,
O ponto crítico satisfaz
, logo
Resolvendo essa equação:
Passo 7
Precisamos verificar que esse ponto crítico é de mínimo. Calculamos a segunda derivada de
:
que é claramente positiva para todo
. Como a segunda derivada de
é positiva,
é convexa e o ponto crítico encontrado é um mínimo. Assim
e, consequentemente,
têm mínimo em
.
Passo 8
Interpretação física curta (para guardar na prova): reduzir
aumenta a eficiência de Carnot (melhor
), reduzindo a necessidade de calor absorvido, mas a potência radiada escala como
, então há um compromisso entre ter
muito baixo e a penalidade do
. O compromisso ótimo ocorre em
.