7.46 Um tanque rigido e isolado, com volume igual a
, inicialmente contém ar a 800 kPa e
. Uma válvula do tanque, entâo, é aberta e a pressåo interna se reduz rapidamente até 150 kPa , quando a valvula é fechada. Admitindo que o ar que permanece no interior do tanque passa por uma expansão adiabática reversivel, calcule a massa retirada do tanque no processo.
7.50 Considere o seguinte método para a determinação da relação entre os calores especificos de um gás (
). O gás está, inicialmente, contido num vaso rigido a pressăo
(um pouco maior que a pressăo ambiente,
) e a temperatura ambiente. Uma válvula do vaso, entăo, é aberta e a pressăo do gás é reduzida rapidamente até
. Nesta condição a válvula é fechada. Após um certo
tempo, o gás que permaneceu no interior do vaso retorna a uma condição de equilibrio térmico com o ambiente e apresentando uma pressão interna
. Desenvolver uma expressăo para
em funçăo de
,
.
7.50 Considere o seguinte método para a determinação da relação entre os calores especificos de um gás (
tempo, o gás que permaneceu no interior do vaso retorna a uma condição de equilibrio térmico com o ambiente e apresentando uma pressão interna
Passo 1
Vou listar cuidadosamente o que cada enunciado pede e as informações fornecidas, separando por exercício para não nos perder.
Exercício 7.46 — o que é pedido e dados:
- Pedido: calcular a massa retirada do tanque durante o processo descrito.
- Dados:
- Observação do enunciado: o tanque é rígido e isolado; a válvula é aberta e a pressão interna se reduz rapidamente até
quando a válvula é fechada; admite-se que o ar que permanece no interior passa por uma expansão adiabática reversível. - O que precisamos determinar: massa retirada, ou seja,
, onde é a massa inicial no tanque e a massa que permaneceu após o processo.
Exercício 7.50 — o que é pedido e dados:
- Pedido: desenvolver uma expressão para a razão dos calores específicos
(isto é, ) em função de , e . - Dados/descrição do processo:
- Gás inicialmente no vaso rígido em pressão
(um pouco maior que ) e à temperatura ambiente (chamei de ). - Abre-se a válvula; a pressão cai rapidamente até
(alguma massa sai) e a válvula é fechada. - Após equilíbrio térmico com o ambiente (isto é, a temperatura volta a
), a pressão interna passa a ser .
- Gás inicialmente no vaso rígido em pressão
- O que precisamos: relacionar
com , , .
Passo 2
Preparação teórica (ferramentas que vamos usar) — explico devagar como trabalhar com estes problemas.
- Lei dos gases ideais (para massa em volume fixo):
onde
é a pressão,
o volume total do recipiente,
a massa de gás dentro,
a constante específica do gás (para o ar
), e
a temperatura em Kelvin. Para massa inicial:
e para massa final:
quando conhecermos
.
- Processos adiabáticos reversíveis para gás ideal (isentrópico, relação entre
e ):
onde
. Esta fórmula vem das relações clássicas
const e
; explico rapidamente: em processo adiabático reversível temos
const; usando
e manipulando, obtemos a relação entre
e
acima.
- Observação prática: temperaturas devem estar em Kelvin quando usadas na lei dos gases.
Com essas ferramentas a estratégia fica clara: para 7.46 calcular
pela relação adiabática e depois obter
e
por
. Para 7.50 combinar a relação adiabática entre
e
(temperatura imediatamente após a rápida expansão) com a equação do gás no aquecimento isocórico posterior (do estado
para
) para isolar
.
Passo 3
Resolvendo o Exercício 7.46 — passo inicial: converter unidades e fixar constantes.
- Converter temperatura inicial:
- Pressões em SI:
- Volume:
. - Constante do ar:
. - Tomarei
para o ar (valor usual para ar como gás diatômico).
Passo 4
Calcular a temperatura final
do gás que permaneceu no tanque usando a relação adiabática reversível.
A relação é
A relação é
Substituindo
temos o expoente
Calculando a razão de pressões:
Agora
Para não depender apenas de intuição, calculamos o fator:
Então
Passo 5
Calcular as massas inicial e final usando a equação dos gases ideais.
Massa inicial:
Calcule o denominador:
então
Massa final (a que permaneceu no tanque, usando
):
Calcule o denominador:
então
Passo 6
Calcular a massa retirada:
Arredondando para duas casas decimais (próximo e prático para prova):
Parênteses didáticos: por que o resultado fez sentido?
- A rápida expansão adiabática fez o gás remanescente esfriar (de
K para K), o que diminuiu a pressão apesar do volume fixo; muita massa saiu para atingir a nova pressão . O cálculo segue diretamente das relações isentrópicas e da equação dos gases.
Passo 7
Agora resolvendo o Exercício 7.50 — explicação do processo e identificação dos estados.
Anotei:
- Estado inicial:
. - Após a abertura rápida e saída de massa, no instante em que a válvula é fechada o gás remanescente tem pressão
e temperatura (menor que porque houve expansão adiabática rápida). - Após equilíbrio térmico com o ambiente (volume e massa fixos desde o fechamento), a temperatura volta a
e a pressão passa a .
Sequência de transformações do gás remanescente:
- Processo 1→a: adiabático reversível (isentrópico) do estado
para . - Processo a→2: aquecimento isocórico (volume fixo e massa fixa dentro do vaso) de
até .
Vamos relacionar
e
nestes passos e eliminar
para obter
.
Passo 8
Aplicar a relação adiabática entre os estados 1 e a:
Aplicar a relação isocórica entre os estados a e 2 (a massa é fixa e
é fixo; pelo gás ideal
quando
fixos):
Passo 9
Combinar as duas expressões para eliminar
:
Tomamos logaritmos naturais de ambos os lados:
Denote
e
. A equação fica
.
Passo 10
Resolver a equação para
:
Então
Portanto
Substituindo
e
de volta:
Simplificando com propriedades dos logaritmos (observe que
), obtemos a forma mais compacta:
Passo 11
Interpretação final da expressão para
.
- A expressão encontrada é
- Observação: ambas as razões dentro dos logaritmos são menores que 1 (pois
e ), logo os logaritmos são negativos e a razão resulta positiva — como esperado para . - Esse método experimental usa as quedas de pressão e a recuperação térmica para inferir
sem medir diretamente temperaturas distintas.