Seja a reação em fase líquida:
conduzida em reator batelada, cuja lei de velocidade é dada por:
. Determine o tempo de batelada em função da conversão de reagente se a alimentação é dada por
.
OBS: Em todos os enunciados a seguir, os reatores não apresentam queda de pressão e a reação é conduzida isotermicamente.
Passo 1
Então, o que a questão tá pedindo? A gente tem uma reação em batelada:
A + B → C
com lei de velocidade r = k·C_A·C_B. Queremos achar o tempo do batelada em função da conversão X de A, sabendo que a alimentação inicial satisfaz C_{B0} = 2·C_{A0}.
Conteúdo: cinética química e balanço em reator batelada. Vamos precisar:
A + B → C
com lei de velocidade r = k·C_A·C_B. Queremos achar o tempo do batelada em função da conversão X de A, sabendo que a alimentação inicial satisfaz C_{B0} = 2·C_{A0}.
Conteúdo: cinética química e balanço em reator batelada. Vamos precisar:
- Definir conversão X;
- Escrever o balanço diferencial (-dC_A/dt = r);
- Expressar C_A e C_B em função de X;
- Separar variáveis e integrar.
Passo 2
Definindo a conversão de A:
X = (C_{A0} − C_A)/C_{A0} ⇒ C_A = C_{A0}(1 − X).
Como 1 mol de A consome 1 mol de B, temos:
C_B = C_{B0} − (C_{A0} − C_A) = 2C_{A0} − C_{A0}X = C_{A0}(2 − X).
X = (C_{A0} − C_A)/C_{A0} ⇒ C_A = C_{A0}(1 − X).
Como 1 mol de A consome 1 mol de B, temos:
C_B = C_{B0} − (C_{A0} − C_A) = 2C_{A0} − C_{A0}X = C_{A0}(2 − X).
Passo 3
O balanço diferencial no batelada é:
−dC_A/dt = r = k·C_A·C_B.
Substituindo C_A e C_B:
−d[C_{A0}(1 − X)]/dt = k·[C_{A0}(1 − X)]·[C_{A0}(2 − X)].
Como C_{A0} é constante, dC_A = −C_{A0} dX, fica:
−(−C_{A0}·dX/dt) = k·C_{A0}^2·(1 − X)(2 − X)
⇒ C_{A0}·dX/dt = k·C_{A0}^2·(1 − X)(2 − X).
−dC_A/dt = r = k·C_A·C_B.
Substituindo C_A e C_B:
−d[C_{A0}(1 − X)]/dt = k·[C_{A0}(1 − X)]·[C_{A0}(2 − X)].
Como C_{A0} é constante, dC_A = −C_{A0} dX, fica:
−(−C_{A0}·dX/dt) = k·C_{A0}^2·(1 − X)(2 − X)
⇒ C_{A0}·dX/dt = k·C_{A0}^2·(1 − X)(2 − X).
Passo 4
Separamos as variáveis para integrar até uma conversão X:
dt = [C_{A0} dX]/[k·C_{A0}^2·(1 − X)(2 − X)]
⇒ t = ∫₀ᵗ dt = (1/(k·C_{A0})) ∫₀ˣ dX/[(1 − X)(2 − X)].
dt = [C_{A0} dX]/[k·C_{A0}^2·(1 − X)(2 − X)]
⇒ t = ∫₀ᵗ dt = (1/(k·C_{A0})) ∫₀ˣ dX/[(1 − X)(2 − X)].
Passo 5
Agora, a integral de 0 a X de 1/[(1−X)(2−X)] pode ser feita por frações parciais:
1/[(1−X)(2−X)] = 1·[1/(1−X) − 1/(2−X)].
Logo
∫₀ˣ dX/[(1−X)(2−X)] = ∫₀ˣ [1/(1−X) − 1/(2−X)] dX
= [ −ln(1−X) + ln(2−X) ]₀ˣ
= −ln(1−X) + ln(2−X) − [ −ln1 + ln2 ]
= −ln(1−X) + ln(2−X) − ln2.
1/[(1−X)(2−X)] = 1·[1/(1−X) − 1/(2−X)].
Logo
∫₀ˣ dX/[(1−X)(2−X)] = ∫₀ˣ [1/(1−X) − 1/(2−X)] dX
= [ −ln(1−X) + ln(2−X) ]₀ˣ
= −ln(1−X) + ln(2−X) − [ −ln1 + ln2 ]
= −ln(1−X) + ln(2−X) − ln2.
Resposta
t(X) = 1/(k·C_{A0}) · [ −ln(1−X) + ln(2−X) − ln2 ]
ou, de forma mais compacta:
ou, de forma mais compacta: