Duas variáveis aleatórias
e
, cujos valores são restritos aos intervalos
e
, satisfazem a distribuição conjunta de probabilidades
Calcule as distribuições marginais
e
. As variáveis
e
são estatisticamente independentes?
Passo 1
O enunciado nos dá a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias
e
e os intervalos onde elas variam:
- Dado:
- Domínios:
e .
O que se pede:
- Calcular a distribuição marginal de
, ou seja . - Calcular a distribuição marginal de
, ou seja . - Verificar se
e são estatisticamente independentes.
Passo 2
Explicação do procedimento (fórmula que será usada).
- Para variáveis contínuas, a distribuição marginal de
é obtida integrando a distribuição conjunta em relação a :
- Analogamente, a distribuição marginal de
é
Essas fórmulas expressam a ideia: para obter a probabilidade (densidade) de
num dado
, soma-se (no caso contínuo: integra-se) a contribuição de todos os possíveis valores de
.
Passo 3
Cálculo de
.
Começamos pela integral
Começamos pela integral
Fazemos a mudança de variável
. Então
. Quando
temos
. Quando
temos
. A integral vira
Calcule a integral de
:
Aplicando os limites,
Portanto
e
para
.
Passo 4
Cálculo de
(simetria e execução).
Pela simetria do integrando em e
(a função depende apenas de
), a mesma conta dá
Pela simetria do integrando em
e
para
.
Passo 5
Verificação rápida de normalização (cheque de consistência).
Vamos verificar que cada marginal integra para :
Vamos verificar que cada marginal integra para
Mesmo para
o cálculo é idêntico. Isso mostra consistência: as marginais são PDFs válidas.
Passo 6
Teste de independência (definição e contraexemplo numérico).
- Definição:
e são independentes se, para todos na região considerada,
- Aqui temos
e
Essas duas expressões não são iguais em geral (uma depende de
, a outra dos fatores
e
separadamente). Para ver concretamente, tome
e
:
enquanto
Como
, temos uma contradição com a condição de independência. Logo,
e
não são independentes.
Resposta
As variáveis