Duas variáveis aleatórias x e y, cujos valores são restritos aos intervalos 1 \leq x<\infty e 1 \leq y<\infty, satisfazem a distribuição conjunta de probabilidades
P_{X Y}(x, y)=\frac{4}{(x+y)^{3}}
Calcule as distribuições marginais P_{X}(x) e P_{Y}(y). As variáveis x e y são estatisticamente independentes?

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias x e y e os intervalos onde elas variam:
  • Dado: P_{X Y}(x, y)=\frac{4}{(x+y)^{3}}
  • Domínios: 1 \leq x<\infty e 1 \leq y<\infty.
O que se pede:
  1. Calcular a distribuição marginal de x, ou seja P_X(x).
  2. Calcular a distribuição marginal de y, ou seja P_Y(y).
  3. Verificar se x e y são estatisticamente independentes.

Passo 2

Explicação do procedimento (fórmula que será usada).
  • Para variáveis contínuas, a distribuição marginal de X é obtida integrando a distribuição conjunta em relação a y:
P_X(x)=\int_{1}^{\infty} P_{XY}(x,y)\,dy.
  • Analogamente, a distribuição marginal de Y é
P_Y(y)=\int_{1}^{\infty} P_{XY}(x,y)\,dx.
Essas fórmulas expressam a ideia: para obter a probabilidade (densidade) de X num dado x, soma-se (no caso contínuo: integra-se) a contribuição de todos os possíveis valores de Y.

Passo 3

Cálculo de P_X(x).
Começamos pela integral
P_X(x)=\int_{1}^{\infty}\frac{4}{(x+y)^{3}}\,dy.
Fazemos a mudança de variável u=x+y. Então du=dy. Quando y=1 temos u=x+1. Quando y\to\infty temos u\to\infty. A integral vira
P_X(x)=4\int_{u=x+1}^{\infty}u^{-3}\,du.
Calcule a integral de u^{-3}:
\int u^{-3}\,du=-\tfrac{1}{2}u^{-2}.
Aplicando os limites,
4\left[-\tfrac{1}{2}u^{-2}\right]_{u=x+1}^{\infty} =4\left(0 - \big(-\tfrac{1}{2}(x+1)^{-2}\big)\right) =4\cdot\tfrac{1}{2}(x+1)^{-2}.
Portanto
P_X(x)=\frac{2}{(x+1)^{2}}\qquad\text{para }x\ge 1,
e P_X(x)=0 para x<1.

Passo 4

Cálculo de P_Y(y) (simetria e execução).
Pela simetria do integrando em x e y (a função depende apenas de x+y), a mesma conta dá
P_Y(y)=\int_{1}^{\infty}\frac{4}{(x+y)^{3}}\,dx=\frac{2}{(y+1)^{2}}\qquad\text{para }y\ge 1,
e P_Y(y)=0 para y<1.

Passo 5

Verificação rápida de normalização (cheque de consistência).
Vamos verificar que cada marginal integra para 1:
\int_{1}^{\infty}\frac{2}{(x+1)^{2}}\,dx =2\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{1}^{\infty} =2\left(0 - \big(-\tfrac{1}{2}\big)\right)=1.
Mesmo para P_Y o cálculo é idêntico. Isso mostra consistência: as marginais são PDFs válidas.

Passo 6

Teste de independência (definição e contraexemplo numérico).
  • Definição: X e Y são independentes se, para todos x,y na região considerada,
P_{XY}(x,y)=P_X(x)\,P_Y(y).
  • Aqui temos P_{XY}(x,y)=\dfrac{4}{(x+y)^3} e
P_X(x)P_Y(y)=\frac{2}{(x+1)^2}\cdot\frac{2}{(y+1)^2}=\frac{4}{(x+1)^2(y+1)^2}.
Essas duas expressões não são iguais em geral (uma depende de x+y, a outra dos fatores x+1 e y+1 separadamente). Para ver concretamente, tome x=1 e y=1:
P_{XY}(1,1)=\frac{4}{(1+1)^3}=\frac{4}{8}=\tfrac{1}{2},
enquanto
P_X(1)P_Y(1)=\frac{2}{(1+1)^2}\cdot\frac{2}{(1+1)^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.
Como \tfrac{1}{2}\neq\tfrac{1}{4}, temos uma contradição com a condição de independência. Logo, X e Y não são independentes.

Resposta

P_X(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{2}} para x\ge 1 (e 0 para x<1)
P_Y(y)=\dfrac{2}{(y+1)^{2}} para y\ge 1 (e 0 para y<1)
As variáveis x e y não são estatisticamente independentes.

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