Para o sistema 1-clorobutano(1)/ clorobenzeno(2) as pressões de vapor das espécies puras são dadas por:
In P_{1}^{\text {sat }}(\mathrm{kPa})=13,9600-\frac{2.826,26}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+224,10} \mathrm{e} \ln P_{2}^{\text {sat }}(\mathrm{kPa})=13,9926-\frac{3.295,12}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+217,55}
Onde T está em { }^{\circ} \mathrm{Ce} P_{i}{ }^{\text {sat }} \mathrm{em} \mathrm{kPa}. Assumindo que a Lei de Raoult descreve o equilíbrio líquido/vapor para este sistemas, determine:
x_{1} e y_{1} para o equilíbrio de fases a 100^{\circ} \mathrm{C} e 95 kPa .

Passo 1

O enunciado pede os valores de x_{1} (fração molar de 1‑clorobutano na fase líquida) e y_{1} (fração molar de 1‑clorobutano na fase vapor) no equilíbrio líquido‑vapor a t=100^\circ\mathrm{C} e P_{\text{total}}=95\\ \mathrm{kPa}. As informações fornecidas (vou escrevê‑las de forma clara para usar depois) são as equações para as pressões de vapor das espécies puras, em que a variável de temperatura é t em ^\circ\mathrm{C} e as pressões ficam em \mathrm{kPa}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}(\mathrm{kPa}) = 13,9600 - \frac{2\,826{,}26}{t\;(^\circ\mathrm{C}) + 224{,}10}
\ln P_{2}^{\text{sat}}(\mathrm{kPa}) = 13,9926 - \frac{3\,295{,}12}{t\;(^\circ\mathrm{C}) + 217{,}55}
Onde o componente 1 é 1‑clorobutano e o componente 2 é clorobenzeno. Temperatura dada: t=100^\circ\mathrm{C}. Pressão total: P=95\\ \mathrm{kPa}. A hipótese do enunciado: o equilíbrio é descrito pela Lei de Raoult (mistura ideal). A resolução começa agora.

Passo 2

Entendendo e usando as equações de pressão de vapor (forma tipo Antoine em log natural). Explicação curta: a equação nos dá o logaritmo natural da pressão de vapor da substância pura à temperatura t. Para obter P^{\text{sat}} precisamos calcular o lado direito e depois aplicar a exponencial: P^{\text{sat}}=\exp(\ln P^{\text{sat}}). Vou calcular P_{1}^{\text{sat}} em t=100^\circ\mathrm{C} passo a passo.
Calcule o denominador para o componente 1:
t + 224{,}10 = 100 + 224{,}10 = 324{,}10
Calcule a fração:
\frac{2\,826{,}26}{324{,}10} \approx 8{,}720333
Agora calcule o lado direito da equação do logaritmo:
\ln P_{1}^{\text{sat}} = 13{,}9600 - 8{,}720333 \approx 5{,}239667
Finalmente exponencie para obter P_{1}^{\text{sat}}:
P_{1}^{\text{sat}} = \exp(5{,}239667) \approx 188{,}62\\ \mathrm{kPa}
Observação didática rápida: ao ver \ln P, a operação inversa é a exponenciação com base e. Se \ln P = a, então P = e^{a}.

Passo 3

Agora calculamos P_{2}^{\text{sat}} (clorobenzeno) de forma análoga.
Calcule o denominador para o componente 2:
t + 217{,}55 = 100 + 217{,}55 = 317{,}55
Calcule a fração:
\frac{3\,295{,}12}{317{,}55} \approx 10{,}376889
Calcule o logaritmo:
\ln P_{2}^{\text{sat}} = 13{,}9926 - 10{,}376889 \approx 3{,}615711
Exponencie para obter P_{2}^{\text{sat}}:
P_{2}^{\text{sat}} = \exp(3{,}615711) \approx 37{,}16\\ \mathrm{kPa}
Resumo numérico até aqui (usar estes valores em frente): P_{1}^{\text{sat}} \approx 188{,}62\\ \mathrm{kPa} e P_{2}^{\text{sat}} \approx 37{,}16\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Relembrando a Lei de Raoult e como obter x_{1}. Para uma mistura ideal:
p_{i} = x_{i}\,P_{i}^{\text{sat}}
onde p_{i} é a pressão parcial do componente i na fase vapor e x_{i} é a fração molar do componente i na fase líquida. A pressão total é a soma das pressões parciais:
P = p_{1} + p_{2} = x_{1}P_{1}^{\text{sat}} + x_{2}P_{2}^{\text{sat}}
Como x_{1}+x_{2}=1, podemos escrever:
P = x_{1}P_{1}^{\text{sat}} + (1-x_{1})P_{2}^{\text{sat}} = x_{1}(P_{1}^{\text{sat}}-P_{2}^{\text{sat}}) + P_{2}^{\text{sat}}
Isolando x_{1} obtemos a fórmula prática:
x_{1} = \frac{P - P_{2}^{\text{sat}}}{P_{1}^{\text{sat}} - P_{2}^{\text{sat}}}
Essa expressão é linear e fácil de aplicar com os P_{i}^{\text{sat}} que calculamos.

Passo 5

Agora aplico a fórmula numérica para x_{1} com P=95\\ \mathrm{kPa}:
Calcule o numerador:
P - P_{2}^{\text{sat}} = 95 - 37{,}16 = 57{,}84\\ \mathrm{kPa}
Calcule o denominador:
P_{1}^{\text{sat}} - P_{2}^{\text{sat}} = 188{,}62 - 37{,}16 = 151{,}46\\ \mathrm{kPa}
Divida para obter x_{1}:
x_{1} = \frac{57{,}84}{151{,}46} \approx 0{,}3819 \approx 0{,}382
Interpretação curta: x_{1}\approx 0{,}382 significa que na fase líquida cerca de 38{,}2\% (em mol) é 1‑clorobutano sob as condições dadas.

Passo 6

Agora calculamos y_{1} (fração molar na vapor) a partir de p_{1}=x_{1}P_{1}^{\text{sat}} e y_{1}=p_{1}/P.
Calcule p_{1}:
p_{1} = x_{1}\,P_{1}^{\text{sat}} \approx 0{,}3819 \times 188{,}62 \approx 72{,}04\\ \mathrm{kPa}
Agora calcule y_{1}:
y_{1} = \frac{p_{1}}{P} = \frac{72{,}04}{95} \approx 0{,}7583 \approx 0{,}758
Interpretação: na fase vapor cerca de 75{,}8\% em mol é 1‑clorobutano — faz sentido porque 1‑clorobutano tem pressão de vapor muito maior que clorobenzeno, então vapor é enriquecido em componente mais volátil.

Resposta

x_{1}=0{,}382
y_{1}=0{,}758

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