O gás etano \left(\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6}\right) a 25^{\circ} \mathrm{C} é queimado em regime permanente em uma câmara de combustão a uma taxa de 5 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} com a quantidade estequiométrica de ar, o qual é pré-aquecido a 500 K antes de entrar na câmara de combustão. Uma análise dos gases de combustão revela que todo o hidrogênio do combustível queima em \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, mas que apenas 95 \% do carbono queima em \mathrm{CO}_{2}, e os restantes 5 \% formam CO . Se os produtos saem da câmara de combustão a 800 K , determine a taxa de transferência de calor da câmara de combustão.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor da câmara de combustão em regime permanente. Dados fornecidos (todos obrigatoriamente anotados):
  • Combustível: etano \left(\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}\right).
  • Temperatura inicial do combustível: 25^\circ\mathrm{C}, isto é, T_{\text{fuel}}=298\\ \mathrm{K}.
  • Vazão mássica do combustível: \dot m_{\text{fuel}}=5\\ \mathrm{kg/h}.
  • Ar fornecido em quantidade estequiométrica (para combustão completa) e pré-aquecido a 500\\ \mathrm{K}.
  • Composição do ar (mol): y_{\mathrm{O_2}}=0{,}21, y_{\mathrm{N_2}}=0{,}79.
  • Análise dos produtos: todo o hidrogênio do combustível forma \mathrm{H_2O}; 95\% do carbono forma \mathrm{CO_2} e 5\% do carbono forma \mathrm{CO}.
  • Temperatura dos produtos que saem: T_{\text{prod}}=800\\ \mathrm{K}.
  • Não há trabalho de eixo nem variações cinéticas/potenciais importantes (aplicaremos balanço de energia usual).
Pergunta clara: determinar a taxa de transferência de calor \dot Q (em kW), ou seja, o fluxo de calor necessário para que o balanço energético da câmara se satisfaça no regime permanente.

Passo 2

Monte o balanço de matéria por mol de combustível (fazendo a estimativa estequiométrica e incluindo a queima incompleta do carbono).
  1. Reação estequiométrica completa (para contar oxigênio necessário):
\mathrm{C_2H_6} + \tfrac{7}{2}\,\mathrm{O_2} \rightarrow 2\,\mathrm{CO_2} + 3\,\mathrm{H_2O}.
Logo, oxigênio estequiométrico por mol de etano é \tfrac{7}{2}=3{,}5\\ \mathrm{mol\\ O_2/mol\\ fuel}.
  1. Conversão parcial de carbono: etano tem 2 átomos de carbono por mol. Segundo o enunciado:
  • \mathrm{CO_2} formado por mol de combustível: 2\times 0{,}95 = 1{,}90\\ \mathrm{mol}.
  • \mathrm{CO} formado por mol de combustível: 2\times 0{,}05 = 0{,}10\\ \mathrm{mol}.
  1. Hidrogênio: todos os 6 H formam \mathrm{H_2O}: \mathrm{H_2O} = 3{,}00\\ \mathrm{mol} por mol de combustível.
  2. Consumo de \mathrm{O_2} realmente gasto:
\begin{aligned} \mathrm{O_2\\ required} &= 1{,}90\\ (\text{para } \mathrm{CO_2}) + 0{,}05\\ (\text{para } \mathrm{CO}) + 1{,}50\\ (\text{para } \mathrm{H_2O})\\\ &= 3{,}45\\ \mathrm{mol\\ O_2}. \end{aligned}
(Obs.: cada \mathrm{CO_2} consome 1 mol \mathrm{O_2}; cada \mathrm{CO} consome 0{,}5 mol \mathrm{O_2}; cada \mathrm{H_2O} consome 0{,}5 mol \mathrm{O_2}.)
  1. Como o ar foi fornecido em quantidade estequiométrica calculada para combustão completa, foram fornecidos 3{,}5 mol \mathrm{O_2} por mol de combustível. Portanto sobra:
\mathrm{O_2\\ leftover}=3{,}5-3{,}45=0{,}05\\ \mathrm{mol\\ O_2\\ (por\\ mol\\ fuel)}.
  1. Moles de \mathrm{N_2} do ar por mol de combustível: para cada mol \mathrm{O_2} \tfrac{0{,}79}{0{,}21}=3{,}7619 mol \mathrm{N_2}. Então:
\mathrm{N_2} = 3{,}5\times 3{,}7619 \approx 13{,}1667\\ \mathrm{mol\\ N_2\\ (por\\ mol\\ fuel)}.
Resumo dos produtos por mol de \mathrm{C_2H_6}:
\mathrm{CO_2}=1{,}90,\quad \mathrm{CO}=0{,}10,\quad \mathrm{H_2O}=3{,}00,\quad \mathrm{O_2}=0{,}05,\quad \mathrm{N_2}=13{,}1667.

Passo 3

Calcule a vazão molar do combustível a partir da vazão mássica dada e converta para unidade por segundo (pois \dot Q em kW = kJ/s).
Massa molar do etano: M_{\mathrm{C_2H_6}} \approx 30{,}07\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}03007\\ \mathrm{kg/mol}.
Vazão mássica: \dot m_{\text{fuel}} = 5\\ \mathrm{kg/h} = \dfrac{5}{3600}\\ \mathrm{kg/s}.
Vazão molar:
\dot n_{\text{fuel}} = \dfrac{\dot m_{\text{fuel}}}{M_{\mathrm{C_2H_6}}} = \dfrac{5/3600}{0{,}03007} \approx 0{,}0461806\\ \mathrm{mol/s}.
(Se preferir por hora: \dot n_{\text{fuel}} \approx 166{,}25\\ \mathrm{mol/h}, mas usamos \mathrm{mol/s} para obter \mathrm{kW}.)

Passo 4

Escolha das propriedades termodinâmicas (valores padrão aproximados, explico abaixo cada escolha):
Usaremos entalpias padrão de formação a 298\\ \mathrm{K} e capacidades caloríficas molares constantes para estimar as variações sensíveis de 298\\ \mathrm{K} até as temperaturas do processo. Fórmula usada para entalpia molar de uma espécie i:
h_i(T)=\Delta H_{f,i}^\circ + \int_{298}^{T} c_{p,i}\,dT \approx \Delta H_{f,i}^\circ + c_{p,i}\,(T-298),
onde c_{p,i} é adotado constante (método comum em problemas de sala de aula quando não se pede maior precisão).
Valores adotados (valores típicos):
\begin{aligned} &\Delta H_{f}^\circ(\mathrm{C_2H_6,g}) = -84{,}0\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ &\Delta H_{f}^\circ(\mathrm{CO_2,g}) = -393{,}5\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ &\Delta H_{f}^\circ(\mathrm{CO,g}) = -110{,}5\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ &\Delta H_{f}^\circ(\mathrm{H_2O,g}) = -241{,}8\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ &\Delta H_{f}^\circ(\mathrm{O_2})=\Delta H_{f}^\circ(\mathrm{N_2})=0\\ \mathrm{kJ/mol}. \end{aligned}
Capacidades molares médias adotadas (constantes) em \mathrm{kJ/(mol\cdot K)} (convertendo de J/mol·K dividindo por 1000):
\begin{aligned} &c_{p}(\mathrm{C_2H_6})=0{,}05249,\\\ &c_{p}(\mathrm{CO_2})=0{,}03711,\\\ &c_{p}(\mathrm{H_2O,g})=0{,}03358,\\\ &c_{p}(\mathrm{CO})=0{,}02914,\\\ &c_{p}(\mathrm{O_2})=0{,}02937,\\\ &c_{p}(\mathrm{N_2})=0{,}02912. \end{aligned}
Obs.: esses números são aproximações típicas à temperatura ambiente e para a faixa aqui usada; o método (entalpia de formação + cp·ΔT) é didático e suficiente para o problema de prova.

Passo 5

Calcule a entalpia total dos reagentes por mol de combustível (referência 298\\ \mathrm{K}).
Reagentes por mol de combustível:
  • 1 mol \mathrm{C_2H_6} a 298\\ \mathrm{K}.
  • Ar estequiométrico: 3{,}5 mol \mathrm{O_2} e 13{,}1667 mol \mathrm{N_2}, pré-aquecidos a 500\\ \mathrm{K}.
Entalpia molar do etano (a 298 K): apenas a entalpia de formação (sem sensível pois está a 298 K):
h_{\mathrm{C_2H_6}} = \Delta H_{f}^\circ(\mathrm{C_2H_6}) = -84{,}0\\ \mathrm{kJ/mol}.
Entalpia sensível do ar (da referência 298\\ \mathrm{K} até 500\\ \mathrm{K}):
\begin{aligned} \Delta h_{\mathrm{O_2}} &= c_p(\mathrm{O_2})\,(500-298) =0{,}02937\times 202 = 5{,}9327\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ \Delta h_{\mathrm{N_2}} &= c_p(\mathrm{N_2})\,(500-298) =0{,}02912\times 202 = 5{,}8822\\ \mathrm{kJ/mol}. \end{aligned}
Total de entalpia dos reagentes por mol de combustível:
\begin{aligned} h_{\text{reag}} &= h_{\mathrm{C_2H_6}} + 3{,}5\cdot\Delta h_{\mathrm{O_2}} + 13{,}1667\cdot\Delta h_{\mathrm{N_2}}\\\ &= -84{,}0 + 3{,}5(5{,}9327) + 13{,}1667(5{,}8822)\\\ &\approx -84{,}0 + 20{,}7646 + 77{,}4483\\\ &\approx 14{,}213\\ \mathrm{kJ/mol}. \end{aligned}
Interpretação: por mol de combustível, os reagentes transportam cerca de +14{,}21\\ \mathrm{kJ} (valor positivo porque o ar foi pré-aquecido).

Passo 6

Calcule a entalpia total dos produtos por mol de combustível (cada produto a 800\\ \mathrm{K}).
Temperatura dos produtos: T_{\text{prod}}=800\\ \mathrm{K}. Diferença T-298 = 502\\ \mathrm{K}.
Entalpias molares de cada espécie (formação + sensível):
  1. \mathrm{CO_2} (1,90 mol):
\begin{aligned} \Delta h_{\mathrm{CO_2}} &= c_p(\mathrm{CO_2})\,(800-298)=0{,}03711\times 502=18{,}6452\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ h_{\mathrm{CO_2}} &= -393{,}5 + 18{,}6452 = -374{,}8548\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ \text{contribuição } &= 1{,}90\times (-374{,}8548) = -712{,}2231\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}çã
  1. \mathrm{CO} (0,10 mol):
\begin{aligned} \Delta h_{\mathrm{CO}} &= 0{,}02914\times 502 = 14{,}6243\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ h_{\mathrm{CO}} &= -110{,}5 + 14{,}6243 = -95{,}8757\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ \text{contribuição } &= 0{,}10\times (-95{,}8757) = -9{,}5876\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}çã
  1. \mathrm{H_2O(g)} (3,00 mol):
\begin{aligned} \Delta h_{\mathrm{H_2O}} &= 0{,}03358\times 502 = 16{,}8572\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ h_{\mathrm{H_2O}} &= -241{,}8 + 16{,}8572 = -224{,}9428\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ \text{contribuição } &= 3{,}00\times (-224{,}9428) = -674{,}8284\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}çã
  1. \mathrm{O_2} restante (0,05 mol):
\begin{aligned} \Delta h_{\mathrm{O_2}}(298\to800) &= 0{,}02937\times 502 = 14{,}7437\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ \text{contribuição } &= 0{,}05\times 14{,}7437 = 0{,}7372\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}çã
  1. \mathrm{N_2} (13,1667 mol):
\begin{aligned} \Delta h_{\mathrm{N_2}}(298\to800) &= 0{,}02912\times 502 = 14{,}6182\\ \mathrm{kJ/mol},\\\ \text{contribuição } &= 13{,}1667\times 14{,}6182 = 192{,}4735\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}çã
Some todas as contribuições para obter a entalpia total dos produtos por mol de combustível:
\begin{aligned} h_{\text{prod}} &= -712{,}2231 -9{,}5876 -674{,}8284 +0{,}7372 +192{,}4735\\\ &\approx -1203{,}4285\\ \mathrm{kJ/mol}. \end{aligned}
Interpretação: os produtos, a 800\\ \mathrm{K}, carregam aproximadamente -1203{,}43\\ \mathrm{kJ} por mol de etano (valor negativo dominado pelas entalpias de formação de \mathrm{CO_2} e \mathrm{H_2O}).

Passo 7

Aplique o balanço de energia em regime permanente (controle envolvendo entrada de reagente, saída de produtos, sem trabalho nem variação cinética/potencial):
\dot Q + \sum \dot n_{\text{in}} h_{\text{in}} = \sum \dot n_{\text{out}} h_{\text{out}}.
Por mol de combustível (taxas por mol de combustível), a taxa de calor por mol de combustível é:
q_{\text{mol}} = h_{\text{prod}} - h_{\text{reag}}.
Substituindo os valores:
q_{\text{mol}} = -1203{,}4285 - 14{,}2130 = -1217{,}6415\\ \mathrm{kJ\\ por\\ mol\\ de\\ combustível}.í
Sinal negativo significa que o processo é exotérmico e, com a convenção usada, \dot Q será negativo: o controle libera calor (ou, dito de outra forma, é necessário remover calor da câmara à taxa correspondente para manter as temperaturas dadas).
Agora multiplique pela vazão molar \dot n_{\text{fuel}}=0{,}0461806\\ \mathrm{mol/s} para obter \dot Q em \mathrm{kJ/s}=\mathrm{kW}:
\dot Q = q_{\text{mol}}\times \dot n_{\text{fuel}} = -1217{,}6415 \times 0{,}0461806 \approx -56{,}217\\ \mathrm{kJ/s} = -56{,}217\\ \mathrm{kW}.
Arredondando razoavelmente para duas casas significativas:
\dot Q \approx -56{,}2\\ \mathrm{kW}.
Interpretação prática: a câmara de combustão libera calor; para manter as condições de saída dadas (produtos a 800\\ \mathrm{K}, ar pré-aquecido a 500\\ \mathrm{K}), é necessário retirar calor da câmara ou rejeitá-lo à taxa de |\dot Q|\approx 56{,}2\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Observações finais e aviso sobre aproximações (útil na hora da prova):
  • Usei entalpias padrão de formação a 298\\ \mathrm{K} e c_p constantes para estimar as variações sensíveis; esse procedimento é aceitável em exames e problemas de sala de aula. Valores diferentes de \Delta H_f^\circ ou c_p (mais precisos ou tabulados dependentes de T) mudariam levemente o resultado.
  • Mantive todos os cálculos por mol de combustível para clareza e depois converti pela vazão molar. Esse é um método seguro em provas.
  • O sinal negativo indica que o calor é liberado pela combustão; portanto, a taxa de transferência de calor da câmara (no sentido do sistema) é \dot Q\approx -56{,}2\\ \mathrm{kW}.

Resposta

-56{,}2\\ \mathrm{kW}

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