Um sistema de coletores solares para aquecimento doméstico é projetado para prover, em 30 minutos, 150 litros de água quente a 70^{\circ} \mathrm{C}. Cada coletor solar têm uma área de 3 \mathrm{m}^{2}; a densidade de fluxo de energia solar que sobre eles incide é 1,7 \mathrm{MJ} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2}, da qual 40 \% é perdida para a vizinhança. Desprezando a variação da energia cinética e da energia potencial gravitacional, quantos coletores são necessários para aquecimento com o restante da energia incidente, se a água estiver inicialmente a 55^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Volume de água a aquecer: 150\\ \mathrm{L}.
  • Tempo disponível: 30\\ \mathrm{min}.
  • Temperatura inicial da água: 55^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final desejada: 70^\circ\mathrm{C}.
  • Área de cada coletor: 3\\ \mathrm{m}^2.
  • Densidade de fluxo solar incidente: 1,7\\ \mathrm{MJ}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2.
  • Perdas para a vizinhança: 40\% (logo apenas 60\% da energia incidente é útil).
  • Desprezar variações de energia cinética e potencial.
O enunciado pede: quantos coletores são necessários para aquecer a água nas condições dadas, usando somente a energia restante (após as perdas).

Passo 2

Calcular a energia térmica necessária para aquecer a água: explicando ideia e fórmula.
  • Conceito: a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de uma massa m de água é dada por Q = m c \Delta T, onde:
    • Q é energia térmica necessária;
    • m é a massa da água (em \mathrm{kg});
    • c é o calor específico da água (energia necessária para elevar 1\\ \mathrm{kg} de água em 1\\ ^\circ\mathrm{C});
    • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C} ou K).
  • Valores e conversões:
    • Para água, c = 4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 0,00418\\ \mathrm{MJ/(kg\cdot K)}.
    • 150\\ \mathrm{L} de água têm massa m=150\\ \mathrm{kg} (assumindo 1\\ \mathrm{L}=1\\ \mathrm{kg}).
    • \Delta T = 70^\circ\mathrm{C}-55^\circ\mathrm{C}=15^\circ\mathrm{C}.
  • Aplicando a fórmula:
Q = m\,c\,\Delta T = 150\cdot 0,00418\cdot 15\\ \mathrm{MJ}.
Calculemos passo a passo:
0,00418\cdot 15 = 0,0627\\ \mathrm{MJ/(kg)}
Q = 150\cdot 0,0627 = 9,405\\ \mathrm{MJ}.
Portanto a energia necessária é Q=9,405\\ \mathrm{MJ}.

Passo 3

Calcular a energia útil fornecida por um coletor em 30\\ \mathrm{min}.
  • Primeiro, converter o tempo para horas: 30\\ \mathrm{min} = 0,5\\ \mathrm{h}.
  • Energia solar incidente por 1\\ \mathrm{m}^2 em 0,5\\ \mathrm{h}:
E_{\text{inc},\,1\mathrm{m}^2} = 1,7\cdot 0,5 = 0,85\\ \mathrm{MJ/m^2}.
  • Cada coletor tem área A=3\\ \mathrm{m}^2, logo a energia incidente em um coletor no período é:
E_{\text{inc, coletor}} = 0,85\cdot 3 = 2,55\\ \mathrm{MJ}.
  • Apenas 60\% dessa energia é útil (pois 40\% se perde). Então a energia útil por coletor é:
E_{\text{útil, coletor}} = 0,6\cdot 2,55 = 1,53\\ \mathrm{MJ}.ú

Passo 4

Determinar quantos coletores são necessários e justificar arredondamento.
  • Número necessário (não inteiro) dado por:
N = \frac{Q}{E_{\text{útil, coletor}}} = \frac{9,405}{1,53} \approx 6,147.ú
  • Interpretação prática: não se pode ter uma fração de coletor em operação; portanto é preciso arredondar para cima, garantindo energia suficiente. Então escolher N=7 coletores.

Passo 5

Cheque rápido das ordens de grandeza e observações finais (didática e incentivo).
  • Verificação: 7 coletores fornecem 7\cdot 1,53 = 10,71\\ \mathrm{MJ}, maior que os 9,405\\ \mathrm{MJ} requeridos — sobra margem para perdas extras não consideradas.
  • Observações: aqui foi assumido que toda a energia útil captada vai para aquecer a água (sem outras perdas), e que a irradiância é constante no intervalo. Em prova, se pedirem, declare essas hipóteses.
Força aí — já está feito o cálculo completo e bem explicado; dá pra aplicar o mesmo procedimento em outras situações trocando apenas números.

Resposta

7 coletores

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