Uma certa quantidade de ar é mantida no interior de um submersível nas condições de temperatura e pressão próximas a da superfície do mar. O submersível desce a uma profundidade de cerca de 4.000 m , quando a sua estrutura colapsa, provocando a pressurização súbita do ar. Estimar o valor da temperatura alcançada pelo ar e o valor da energia por unidade de massa transferida. De onde vem e para onde vai essa energia? Assinalar todas as aproximações e hipóteses consideradas para chegar às respostas.
Passo 1
O enunciado dá que:
- A profundidade é
. - O ar no interior do submersível está, inicialmente, em condições próximas às da superfície do mar (vou assumir uma pressão inicial
e uma temperatura inicial típicas, veja abaixo).
O que se pede: - Estimar a temperatura alcançada pelo ar após a pressurização súbita.
- Estimar a energia transferida por unidade de massa (energia específica).
- Dizer de onde vem e para onde vai essa energia.
Observações iniciais (valores que vou usar, peguei a pressão hidrostática da água pela profundidade): - Densidade da água do mar
. - Aceleração da gravidade
. - Pressão atmosférica na superfície
. - Temperatura inicial do ar
(aprox. ); escolhi esse valor como referência típica. - Vou calcular a pressão absoluta externa típica à profundidade
por e usá‑la como pressão final aproximada do ar comprimido.
Passo 2
Hipóteses e estratégia (importante para saber que tipo de modelo usar):
- Vou tratar o ar como gás ideal enquanto as temperaturas não forem absurdamente altas; explico quando essa hipótese quebra.
- Assumirei dois modelos-limite para a compressão súbita:
- compressão adiabática reversível (processo rápido mas sem irreversibilidades grandes) — dá um limite inferior de aquecimento;
- compressão adiabática irreversível contra pressão externa aproximadamente constante (pressão externa grande e praticamente constante durante a compressão) — dá um limite superior de aquecimento.
- Para ambos os modelos uso a Primeira Lei da Termodinâmica (sem trocas de calor por serem processos muito rápidos): a variação de energia interna do gás vem do trabalho feito sobre ele.
- Mais adiante discuto a plausibilidade física e as quebras das hipóteses (ionização, troca de calor com água, dissipação mecânica etc.).
Passo 3
Cálculo da pressão absoluta à profundidade
.
- A contribuição hidrostática é
. Então
- Substituindo
, , :
- Portanto
- A razão de compressão de pressão é
Passo 4
Conceitos térmicos e valores para o ar (explicando cada símbolo)
- Para um gás ideal:
-
é a pressão absoluta; -
é o volume ocupado pelo gás; -
é a temperatura absoluta (K); -
é a massa de gás; -
é a constante específica do gás (para o ar ).
-
- Capacidades caloríficas específicas a volume e pressão constantes:
-
é a capacidade calorífica a volume constante (J/kg·K); -
é a capacidade calorífica a pressão constante.
-
- Para ar ideal com razão adiabática
:
- Numérico:
Explico:
diz quanto aumenta a energia interna por kg do gás quando
aumenta
em volume constante.
Passo 5
Modelo A — compressão adiabática reversível (limite inferior)
- Para compressão adiabática reversível de gás ideal vale a relação
- Relacionando pressões e temperaturas entre estados inicial (0) e final (f):
- Substituindo
, e :
- Energia por unidade de massa transferida ao gás (variação da energia interna específica):
Cálculo numérico:
(interpretação: cerca de
por kg de ar).
Passo 6
Derivação curta do Modelo B — compressão irreversível rápida contra pressão externa aproximadamente constante (limite superior)
- Em compressão rápida e desordenada o trabalho feito sobre o gás pode ser aproximado por
onde
é a pressão externa típica durante a compressão (grande e pouco variável comparada à pressão interna inicial).
- Pela Primeira Lei, sem calor trocado:
- Usando a equação de estado do gás ideal
e , dividindo por e substituindo:
- Reagrupando termos para
:
Logo
- Substituindo números (
, , , , ):
- Energia específica absorvida pelo gás:
Passo 7
Interpretação física dos dois limites e plausibilidade
- Resultados numéricos:
- Modelo A (adiabático reversível):
, . - Modelo B (compressão irreversível contra
constante): , .
- Modelo A (adiabático reversível):
- Qual é mais realista? Na prática:
- O colapso estrutural é altamente dinâmico e irreversível; parte do trabalho não fica somente no ar: muito é dissipada em deformação da estrutura, aquecimento e movimento da água, ondas de choque, fragmentação, geração de som, etc.
- Temperaturas de ordem de
– significam ionização do ar e emissão intensa de radiação; aí o modelo de gás ideal sem reações e sem radiação falha. Portanto o valor do Modelo B é um limite matemático superior mas fisicamente improvável como temperatura real do ar confinado: antes de atingir isso ocorreriam processos (ionização, plasmas, mistura com água, cavitação, dissipação) que limitam o aquecimento local e roubam energia do ar. - O Modelo A tende a subestimar se houver fortes irreversibilidades locais, mas dá uma ordem de grandeza mais plausível para o aquecimento adiabático de um volume de ar extremamente comprimido se uma fração significativa do trabalho for realmente convertida em energia interna do ar.
- Conclusão prática: o resultado real estará entre esses limites, provavelmente mais próximo do limite inferior (algumas milhares de kelvin) do que do limite superior, pois outras vias de dissipação (águas, metal, ondas de choque, ionização, radiação) roubam grande parte da energia do trabalho realizado.
Passo 8
De onde vem e para onde vai a energia? (resumo didático)
- De onde vem: a energia que aquece o ar provém do trabalho realizado pela pressão externa da água ao invadir/comprimir o espaço do ar — esse trabalho tem origem na energia mecânica do sistema água+estrutura (campo gravitacional que mantém a coluna d’água) e na energia elástica/inerte da estrutura que colapsa.
- Para onde vai:
- Parte torna‑se energia interna do ar (aumenta
); essa é a parcela calculada em . - Parte vai para aquecer e deformar a estrutura do submersível (energia dissipada por plastificação, atrito).
- Parte vai para o aquecimento e movimento da água circundante (ondas de choque, turbulência).
- Em caso de temperaturas muito altas, energia também vai para ionizar moléculas, dissociar espécies e para radiação eletromagnética.
- Parte torna‑se energia interna do ar (aumenta
- Em termos de balanço: a energia total disponível é o trabalho integrado pela pressão externa sobre o volume deslocado; esse trabalho se reparte nas várias vias acima.
Passo 9
Lista clara das aproximações feitas (para não esquecer em prova)
- Ar tratado como gás ideal (válido até algumas milhares de kelvin; falha se houver forte ionização).
- Processo considerado adiabático (compressão súbita): desprezei trocas de calor com água e estrutura durante a compressão.
- Usei dois modelos-limite: adiabático reversível e compressão irreversível contra pressão externa constante.
- Pressão externa estimada por
com constante (não considerei variações de densidade da água com profundidade). - Valores numéricos típicos:
, , (ar seco). - Não considerei mistura com água, transferência massa/energia durante o colapso nem efeitos químicos/físicos de alta temperatura.
Resposta
Temperatura estimada (limites):
(adiabático reversível, limite inferior) até
(compressão irreversível contra pressão externa constante, limite superior).
Energia por unidade de massa transferida ao ar: (limite inferior) até
(limite superior).
Origem e destino da energia: a energia vem do trabalho realizado pela pressão externa da coluna d’água (e da energia mecânica da estrutura que colapsa) e vai para (i) aumentar a energia interna do ar, (ii) aquecer e deformar a estrutura, (iii) aquecer e acelerar a água circundante (ondas de choque, turbulência), e em temperaturas extremas também para ionização/dissociação e radiação.
Energia por unidade de massa transferida ao ar:
Origem e destino da energia: a energia vem do trabalho realizado pela pressão externa da coluna d’água (e da energia mecânica da estrutura que colapsa) e vai para (i) aumentar a energia interna do ar, (ii) aquecer e deformar a estrutura, (iii) aquecer e acelerar a água circundante (ondas de choque, turbulência), e em temperaturas extremas também para ionização/dissociação e radiação.