Questão 1:

a) Analisando uma máquina reversível:
Uma corrente de ar a 250{ }^{\circ} \mathrm{C} e 400 kPa alimenta um compressor adiabático e reversível, e a descarga do gás ocorre a 364,575^{\circ} \mathrm{C} e 800 kPa . Se o compressor consome 800 kW de potência. Calcule
a) Taxa de massa do ar no compressor?
b) Qual é a vazão volumétrica do ar na sucção (entrada) e na descarga (saída)? A vazão volumétrica é maior na entrada ou na saída?
c) Se o diâmetro da tubulação é de 1 metro, qual é a velocidade do vapor na entrada e na saída?
d) Foi coerente desconsiderar a variação da energia cinética entre a entrada e a saída?
Qual é o trabalho de eixo ( \mathrm{kJ} / \mathrm{kmol} ) considerando a variação da energia cinética? Qual foi o erro ao desprezar o termo da variação da energia cinética?
Obs: Considere o ar com comportamento de gás ideal, com \mathrm{cp} / \mathrm{R}=7 / 2 e massa molar de 28,91 \mathrm{kg} / \mathrm{kmol}. No balanço de energia, a variação da energia cinética e potencial entre as correntes de entrada e saída deve ser desprezada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os números abaixo foram retirados do enunciado):
Dados fornecidos:
  • Temperatura de sucção: \,T_1 = 250{ }^{\circ}\mathrm{C} = 523{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de sucção: \,p_1 = 400\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura de descarga (adiabático reversível): \,T_2 = 364{,}575{ }^{\circ}\mathrm{C} = 637{,}725\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de descarga: \,p_2 = 800\\ \mathrm{kPa}.
  • Potência consumida pelo compressor: \,\dot{W} = 800\\ \mathrm{kW}.
  • Relação dada: \,c_p/R = 7/2.
  • Massa molar do ar: \,M = 28{,}91\\ \mathrm{kg/kmol}.
  • No balanço de energia, inicialmente desprezar variação de energia cinética e potencial (mais tarde será calculada a correção).
  • Pedidos:
    a) taxa de massa de ar no compressor ( \dot{m});
    b) vazões volumétricas na sucção e na descarga e qual é maior;
    c) velocidade do fluido na entrada e saída para tubulação de diâmetro d=1{,}0\\ \mathrm{m};
    d) verificar se foi coerente desprezar a variação da energia cinética;
    e) trabalho de eixo por kmol considerando variação da energia cinética e erro ao desprezá-la.

Passo 2

Entender a relação termodinâmica a usar e os parâmetros do gás ideal (explicação prática).
  • Como o compressor é adiabático e reversível, o processo é isotrópico (isentropicamente reversível para gás ideal). Para um gás ideal com expoente adiabático \gamma vale a relação
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • A relação dada \,c_p/R = 7/2 permite obter \gamma. Explico passo a passo:
    • Para gás ideal, c_p/c_v=\gamma e c_p-c_v=R. Define-se c_p/R como número adimensional.
    • Se c_p/R=7/2=3{,}5, então \gamma=\frac{c_p}{c_v}=\frac{c_p}{c_p-R}=\frac{c_p/R}{(c_p/R)-1}=\frac{3{,}5}{3{,}5-1}=\frac{3{,}5}{2{,}5}=1{,}4.
    • Portanto \gamma = 1{,}4 (valor típico do ar).

Passo 3

Calcular c_p na base molar e na base massa (explicando unidades) e verificar a consistência de T_2 com compressão isentrópica.
  • Constante universal dos gases em kJ/(kmol·K): \,R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}.
  • Como c_{p,\text{molar}}/R_u = 3{,}5, obtemos o calor específico molar
c_{p,\text{molar}} = 3{,}5\,R_u = 3{,}5\cdot 8{,}314462618 \approx 29{,}1006\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}.
  • Em base por massa específica (kJ/(kg·K)) usamos R = R_u/M:
R = \frac{8{,}314462618}{28{,}91}\approx 0{,}287565\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Então c_{p,\text{mass}} = (c_p/R)\cdot R = 3{,}5\cdot 0{,}287565 \approx 1{,}00648\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor coerente com ar real \approx1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}).
Verificação rápida: aplicando a relação isentrópica com \gamma=1{,}4 e p_2/p_1=2,
\frac{T_2}{T_1} = 2^{\frac{0{,}4}{1{,}4}} = 2^{0{,}285714\ldots}\approx 1{,}219,
portanto T_2 \approx 1{,}219\cdot 523{,}15 \approx 637{,}7\\ \mathrm{K}, que coincide com o T_2 dado ( 637{,}725\\ \mathrm{K}). Ou seja, o exercício usou compressão isentrópica consistente.

Passo 4

Determinar o trabalho específico (por kmol) associado à compressão (desprezando KE) e a vazão molar usando a potência de entrada.
  • Para processo adiabático reversível e gás ideal com c_p constante, a variação de entalpia molar é
\Delta h_\text{molar} = c_{p,\text{molar}}(T_2-T_1).
  • Calcular \Delta T:
T_2-T_1 = 637{,}725 - 523{,}15 = 114{,}575\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho específico (por kmol), desprezando KE:
w_{\text{molar}}^{(0)} = c_{p,\text{molar}}(T_2-T_1) = 29{,}100618\cdot 114{,}575 \approx 3334{,}203\\ \mathrm{kJ/kmol}.
(este é o trabalho por kmol necessário para elevar a entalpia; com fluxo molar \dot{n} dá potência \dot{W}=\dot{n}\,w_{\text{molar}}^{(0)}.)
  • Logo a vazão molar \dot{n} (desprezando KE) é
\dot{n}=\frac{\dot{W}}{w_{\text{molar}}^{(0)}}=\frac{800\\ \mathrm{kJ/s}}{3334{,}203\\ \mathrm{kJ/kmol}}\approx 0{,}239946\\ \mathrm{kmol/s}.
  • Converter para vazão mássica:
\dot{m}=\dot{n}\,M = 0{,}239946\cdot 28{,}91 \approx 6{,}9368\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Calcular as vazões volumétricas na entrada e na saída usando a equação do gás ideal (explicando).
  • Equação do gás ideal por massa específica (espaço específico): \,p\,v = R\,T, onde
    • p em \mathrm{kPa},
    • v é volume específico (\mathrm{m^3/kg}),
    • R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)},
    • T em \mathrm{K}.
  • Portanto
v = \frac{R\,T}{p}.
Calcular v_1 e v_2:
v_1=\frac{0{,}287565\cdot 523{,}15}{400} \approx 0{,}375913\\ \mathrm{m^3/kg},
v_2=\frac{0{,}287565\cdot 637{,}725}{800} \approx 0{,}229149\\ \mathrm{m^3/kg}.
Vazões volumétricas:
\dot{V}_1=\dot{m}\,v_1 \approx 6{,}9368\cdot 0{,}375913 \approx 2{,}606\\ \mathrm{m^3/s},
\dot{V}_2=\dot{m}\,v_2 \approx 6{,}9368\cdot 0{,}229149 \approx 1{,}589\\ \mathrm{m^3/s}.
Comparação: \dot{V}_1>\dot{V}_2, portanto a vazão volumétrica é maior na entrada (sucção).

Passo 6

Calcular as velocidades nas seções de diâmetro d=1{,}0\\ \mathrm{m} (explicando relação).
  • Área da tubulação:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi\cdot(1{,}0)^2}{4}\approx 0{,}785398\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidades:
u_1=\frac{\dot{V}_1}{A}\approx\frac{2{,}606}{0{,}785398}\approx 3{,}319\\ \mathrm{m/s},
u_2=\frac{\dot{V}_2}{A}\approx\frac{1{,}589}{0{,}785398}\approx 2{,}024\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Avaliar se foi coerente desprezar a variação da energia cinética (fazer as contas e interpretar).
  • Energia cinética por unidade de massa: \,e_k = \dfrac{u^2}{2} (em \mathrm{J/kg}).
  • Variação por unidade de massa:
\Delta e_k = \frac{u_2^2-u_1^2}{2} = \frac{(2{,}024)^2-(3{,}319)^2}{2} \approx \frac{4{,}097-11{,}015}{2} \approx -3{,}459\\ \mathrm{m^2/s^2} = -3{,}459\\ \mathrm{J/kg}.
  • Potência associada à variação da energia cinética:
\dot{W}_{ke} = \dot{m}\,\Delta e_k \approx 6{,}9368\cdot(-3{,}459)\approx -23{,}99\\ \mathrm{W}\approx -0{,}024\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: o termo da variação de energia cinética representa cerca de -0{,}024\\ \mathrm{kW} no balanço, comparado com \dot{W}=800\\ \mathrm{kW}. É desprezível. Conclusão: foi coerente desprezar a variação de energia cinética no cálculo inicial.

Passo 8

Calcular o trabalho de eixo por kmol considerando a variação da energia cinética (mostrar fórmula) e quantificar o erro ao desprezar esse termo.
  • Energia cinética por kmol: multiplica-se \Delta e_k (J/kg) por M (kg/kmol) para obter \Delta E_{k,\text{molar}} em J/kmol, e divide por 1000 para kJ/kmol:
\Delta E_{k,\text{molar}} = \frac{M\,(u_2^2-u_1^2)}{2\cdot 1000}\\ \mathrm{(kJ/kmol)}.
  • Calcular:
\Delta E_{k,\text{molar}} = \frac{28{,}91\cdot(-6{,}918)}{2\cdot 1000}\approx -0{,}10002\\ \mathrm{kJ/kmol}.
  • Assim o trabalho de eixo por kmol, incluindo a correção de energia cinética, é
w_{\text{molar}} = c_{p,\text{molar}}(T_2-T_1) + \Delta E_{k,\text{molar}} \approx 3334{,}203 - 0{,}10002 \approx 3334{,}103\\ \mathrm{kJ/kmol}.
  • Erro absoluto ao desprezar \Delta E_k:
\Delta w = w_{\text{molar}}^{(0)} - w_{\text{molar}} \approx 0{,}10002\\ \mathrm{kJ/kmol}.
  • Erro relativo em porcentagem:
\frac{\Delta w}{w_{\text{molar}}}\cdot 100\% \approx \frac{0{,}10002}{3334{,}103}\cdot 100\% \approx 0{,}0030\%.
Conclusão: o erro é ínfimo ( \sim 0{,}1\\ \mathrm{kJ/kmol} absoluto, \sim 0{,}003\% relativo), portanto desprezar KE é totalmente justificável aqui.

Resposta

a) \dot{m}\approx 6{,}94\\ \mathrm{kg/s}
b) \dot{V}_\text{entrada}\approx 2{,}61\\ \mathrm{m^3/s}
\dot{V}_\text{saída}\approx 1{,}59\\ \mathrm{m^3/s}í
A vazão volumétrica é maior na entrada (sucção).
c) u_\text{entrada}\approx 3{,}32\\ \mathrm{m/s}
u_\text{saída}\approx 2{,}02\\ \mathrm{m/s}í
d) Sim, foi coerente: a potência associada à variação de energia cinética é \approx -0{,}024\\ \mathrm{kW}, desprezível diante de 800\\ \mathrm{kW}.
Trabalho de eixo (considerando variação da energia cinética): w_{\text{molar}}\approx 3334{,}103\\ \mathrm{kJ/kmol}
Erro ao desprezar o termo da variação de energia cinética: \approx 0{,}100\\ \mathrm{kJ/kmol} (≈ 0{,}003\% relativo).

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