Um sistema de ar condicionado é instalado em uma casa para mantê-la a temperatura constante de 25 oC, em que é usado uma máquina térmica de potência de
. Sabendo-se que as paredes têm um ganho térmico por infiltração natural de
para cada diferença de grau de temperatura entre o ambiente condicionado e o meio externo, e que a eficiência térmica da máquina é de
em relação a máquina de Carnot, determine a temperatura externa, para que o condicionador de ar provenha suficiente resfriamento.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
- Temperatura interna controlada:
. - Potência elétrica (trabalho) disponível para a máquina:
. - Ganho térmico por infiltração:
para cada grau de diferença entre ambiente condicionado e meio externo. Ou seja, se for a temperatura externa, o ganho é proporcional a . - A eficiência térmica da máquina é de
da máquina de Carnot (isto é, o coeficiente de desempenho real é vezes o de Carnot). - O que se pede: determinar a temperatura externa
para que o condicionador forneça resfriamento suficiente para manter .
Passo 2
Entender o conceito físico e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e amigáveis).
- Um ar-condicionado usa trabalho
para retirar calor do ambiente interno; a potência de resfriamento (calor retirado por segundo) chama-se . - O coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador é definido como
ou seja, quantos kW de calor retirados por cada kW de trabalho consumido.
- Para uma máquina ideal de Carnot em modo refrigerador vale
onde:
-
é a temperatura do reservatório frio (aqui, o interior) em kelvin; -
é a temperatura do reservatório quente (aqui, o exterior) em kelvin; - atenção: é obrigatório usar kelvin nessa fórmula, porque ela vem da termodinâmica.
- A máquina real tem
. - A potência de resfriamento disponível será então
Passo 3
Expressar o ganho térmico pelas paredes em função da temperatura externa.
- O enunciado diz que há
por grau de diferença entre ambiente condicionado e meio externo. Assim, o ganho térmico (potência que entra) é
onde as temperaturas estão em graus Celsius. Observação importante: diferenças de temperatura em Celsius e em kelvin são numericamente iguais, então
em
é igual à diferença em kelvin.
Passo 4
Montar a equação de equilíbrio e substituir as fórmulas.
- Para manter a temperatura interna constante, a potência de resfriamento deve ser igual ao ganho térmico:
- Substituindo
e , com em kelvin e (diferença em kelvin = diferença em °C), obtemos
- Agora substituímos os valores conhecidos. Primeiro
. Também . Para simplificar, chamamos (em °C, positivo se exterior é mais quente). A equação fica
- Multiplicando
, obtemos
- Colocando em forma de equação quadrática em
:
- Calculando o lado direito:
Logo
Passo 5
Resolver para
e obter a temperatura externa.
- Tomando raiz quadrada:
- Então a temperatura externa é
- Arredondando com sentido prático (duas casas significativas razoáveis para problemas de engenharia):
. - Interpretação rápida e checagem: com essa
o ganho térmico é . O , o real é e a potência de resfriamento , que bate com o ganho (diferenças de arredondamento pequenas). Ou seja, resultado consistente.
Passo 6
Comentário final motivador
- Resultado obtido: se a temperatura externa ultrapassar aproximadamente
, o condicionador com as características dadas não terá capacidade de remover todo o calor que entra por infiltração e não conseguirá manter . Se a externa for menor ou igual a esse valor, o aparelho dá conta do resfriamento.