Um sistema de ar condicionado é instalado em uma casa para mantê-la a temperatura constante de 25 oC, em que é usado uma máquina térmica de potência de 1,2 \mathrm{~kW}. Sabendo-se que as paredes têm um ganho térmico por infiltração natural de 0,8 \mathrm{~kW} para cada diferença de grau de temperatura entre o ambiente condicionado e o meio externo, e que a eficiência térmica da máquina é de 70 \% em relação a máquina de Carnot, determine a temperatura externa, para que o condicionador de ar provenha suficiente resfriamento.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Temperatura interna controlada: \,T_{\text{int}} = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Potência elétrica (trabalho) disponível para a máquina: \,W = 1,2\\ \mathrm{kW}.
  • Ganho térmico por infiltração: \,0,8\\ \mathrm{kW} para cada grau de diferença entre ambiente condicionado e meio externo. Ou seja, se \,T_{\text{ext}} for a temperatura externa, o ganho é proporcional a \,T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}.
  • A eficiência térmica da máquina é de 70\% da máquina de Carnot (isto é, o coeficiente de desempenho real é 0,70 vezes o de Carnot).
  • O que se pede: determinar a temperatura externa \,T_{\text{ext}} para que o condicionador forneça resfriamento suficiente para manter \,T_{\text{int}}=25^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entender o conceito físico e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e amigáveis).
  • Um ar-condicionado usa trabalho W para retirar calor do ambiente interno; a potência de resfriamento (calor retirado por segundo) chama-se \,Q_L.
  • O coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador é definido como
\mathrm{COP}=\frac{Q_L}{W},
ou seja, quantos kW de calor retirados por cada kW de trabalho consumido.
  • Para uma máquina ideal de Carnot em modo refrigerador vale
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_L}{T_H-T_L},
onde:
  • T_L é a temperatura do reservatório frio (aqui, o interior) em kelvin;
  • T_H é a temperatura do reservatório quente (aqui, o exterior) em kelvin;
  • atenção: é obrigatório usar kelvin nessa fórmula, porque ela vem da termodinâmica.
  • A máquina real tem \mathrm{COP} = 0{,}70\;\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}.
  • A potência de resfriamento disponível será então
Q_L = \mathrm{COP}\cdot W = 0{,}70\cdot\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}\cdot W.

Passo 3

Expressar o ganho térmico pelas paredes em função da temperatura externa.
  • O enunciado diz que há \,0,8\\ \mathrm{kW} por grau de diferença entre ambiente condicionado e meio externo. Assim, o ganho térmico (potência que entra) é
\dot{Q}_{\text{ganho}} = 0{,}8\bigl(T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}\bigr)\\ \mathrm{kW},
onde as temperaturas estão em graus Celsius. Observação importante: diferenças de temperatura em Celsius e em kelvin são numericamente iguais, então \,T_{\text{ext}}-T_{\text{int}} em ^\circ\mathrm{C} é igual à diferença em kelvin.

Passo 4

Montar a equação de equilíbrio e substituir as fórmulas.
  • Para manter a temperatura interna constante, a potência de resfriamento deve ser igual ao ganho térmico:
Q_L = \dot{Q}_{\text{ganho}}.
  • Substituindo Q_L = 0{,}70\cdot\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}\cdot W e \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\dfrac{T_L}{T_H-T_L}, com T_L em kelvin e T_H-T_L = T_{\text{ext}}-T_{\text{int}} (diferença em kelvin = diferença em °C), obtemos
0{,}70\cdot\frac{T_L}{T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}}\cdot W = 0{,}8\bigl(T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}\bigr).
  • Agora substituímos os valores conhecidos. Primeiro T_L = T_{\text{int}} = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}. Também W = 1{,}2\\ \mathrm{kW}. Para simplificar, chamamos \Delta = T_{\text{ext}}-T_{\text{int}} (em °C, positivo se exterior é mais quente). A equação fica
0{,}70\cdot\frac{298{,}15}{\Delta}\cdot 1{,}2 = 0{,}8\,\Delta.
  • Multiplicando 0{,}70\cdot 1{,}2 = 0{,}84, obtemos
\frac{0{,}84\cdot 298{,}15}{\Delta} = 0{,}8\,\Delta.
  • Colocando em forma de equação quadrática em \Delta:
0{,}8\,\Delta^{2} = 0{,}84\cdot 298{,}15.
  • Calculando o lado direito:
0{,}84\cdot 298{,}15 = 250{,}446\\ (\text{aprox.}).
Logo
\Delta^{2} = \frac{250{,}446}{0{,}8} = 313{,}0575.

Passo 5

Resolver para \Delta e obter a temperatura externa.
  • Tomando raiz quadrada:
\Delta = \sqrt{313{,}0575}\approx 17{,}691\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Então a temperatura externa é
T_{\text{ext}} = T_{\text{int}} + \Delta = 25^\circ\mathrm{C} + 17{,}691^\circ\mathrm{C} \approx 42{,}691^\circ\mathrm{C}.
  • Arredondando com sentido prático (duas casas significativas razoáveis para problemas de engenharia): \,T_{\text{ext}}\approx 42{,}7^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação rápida e checagem: com essa \Delta o ganho térmico é \,0{,}8\cdot 17{,}691 \approx 14{,}15\\ \mathrm{kW}. O \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\dfrac{298{,}15}{17{,}691}\approx 16{,}85, o \mathrm{COP} real é 0{,}7\times 16{,}85\approx 11{,}80 e a potência de resfriamento Q_L\approx 11{,}80\times 1{,}2\\ \mathrm{kW}\approx 14{,}16\\ \mathrm{kW}, que bate com o ganho (diferenças de arredondamento pequenas). Ou seja, resultado consistente.

Passo 6

Comentário final motivador
  • Resultado obtido: se a temperatura externa ultrapassar aproximadamente \,42{,}7^\circ\mathrm{C}, o condicionador com as características dadas não terá capacidade de remover todo o calor que entra por infiltração e não conseguirá manter \,25^\circ\mathrm{C}. Se a externa for menor ou igual a esse valor, o aparelho dá conta do resfriamento.

Resposta

T_{\text{ext}} \approx 42{,}7^\circ\mathrm{C}

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