[Questão 3] Determine C_{v}, C_{p}, \kappa_{S}, \kappa_{T} e \alpha para um gás ideal.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que vou usar (sem resolver ainda).
  • O pedido: determinar C_{V}, C_{P}, \kappa_{S}, \kappa_{T} e \alpha para um gás ideal.
  • Convenção adotada: vou trabalhar com capacidades molares (por mol). Se quiser por massa, avisa depois — mas a passagem é só dividir por massa molar.
  • Informação básica usada (lei dos gases ideais por mol): P V = R T,onde P é a pressão, V o volume molar, T a temperatura absoluta e R a constante dos gases.
  • Definições que serão usadas:
    • C_{V} = \left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} (capacidade molar a volume constante).
    • C_{P} = \left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_{P} (capacidade molar a pressão constante), com H entalpia molar.
    • \kappa_{T} = -\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{T} (compressibilidade isoterma).
    • \kappa_{S} = -\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{S} (compressibilidade adiabática/isentrópica).
    • \alpha = \dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} (coeficiente de dilatação térmica).

Passo 2

Entender como varia a energia interna e a entalpia do gás ideal (isso dá C_{V} e C_{P}).
  • Propriedade chave do gás ideal: a energia interna molar U depende somente da temperatura, isto é U=U(T). Isso significa que variações de U com T não dependem de V. A razão física: não há energia potencial entre moléculas no gás ideal.
  • Por definição, C_{V}=\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}.Como U=U(T), C_{V} é função de T apenas (e para um gás perfeito clássico costuma ser constante).
  • A entalpia molar é H = U + P V. Usando P V = R T (por mol), H = U + R T.Diferenciando em T à pressão constante: C_{P}=\left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}=\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_{P}+R.Mas \left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_{P}=\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=C_{V} porque U depende só de T. Portanto chega-se ao resultado clássico: C_{P}=C_{V}+R.
  • Comentário prático e memória: essa relação é muito usada em provas — memorize: C_{P}-C_{V}=R (valendo por mol).

Passo 3

Dar uma forma mais concreta para C_{V} (quando a teoria cinética clássica se aplica) — mostrar o caso com graus de liberdade.
  • Pela equipartição clássica, se uma molécula tem f graus de liberdade térmicos efetivos, a energia interna molar média é \dfrac{f}{2}R T. Logo C_{V}=\dfrac{f}{2}R.Consequência imediata: C_{P}=C_{V}+R=\dfrac{f+2}{2}R.
  • Exemplos práticos (para decorar):
    • gás monoatômico clássico: f=3 \Rightarrow C_{V}=\dfrac{3}{2}R,\; C_{P}=\dfrac{5}{2}R.
    • gás diatômico (sem modos vibracionais excitados): f=5 \Rightarrow C_{V}=\dfrac{5}{2}R,\; C_{P}=\dfrac{7}{2}R.
  • Observação importante: se o problema não especifica f, é suficiente usar a relação geral C_{P}=C_{V}+R e, quando útil, escrever C_{V}=\dfrac{f}{2}R.

Passo 4

Calcular \kappa_{T} (compressibilidade isoterma) diretamente a partir da lei dos gases.
  • Definição: \kappa_{T}=-\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}.
  • Para um mol de gás ideal, a equação de estado dá V=\dfrac{R T}{P}.
  • Derivando V em relação a P a T fixo: \left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}=-\dfrac{R T}{P^{2}}.
  • Substituindo em \kappa_{T}: \kappa_{T}=-\dfrac{1}{V}\left(-\dfrac{R T}{P^{2}}\right)=\dfrac{1}{V}\cdot\dfrac{R T}{P^{2}}.Mas V=\dfrac{R T}{P}, então \kappa_{T}=\dfrac{1}{P}.
  • Interpretação simples: a resposta óbvia — um gás ideal é mais “compressível” quanto menor a pressão; \kappa_{T}=1/P.

Passo 5

Calcular \alpha (coeficiente de expansão térmica) usando a mesma V(P,T).
  • Definição: \alpha=\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
  • Para o gás ideal V=\dfrac{R T}{P}. Derivando em T a P fixo: \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=\dfrac{R}{P}.
  • Dividindo por V=\dfrac{R T}{P}: \alpha=\dfrac{1}{V}\cdot\dfrac{R}{P}=\dfrac{1}{T}.
  • Interpretação: o coeficiente de dilatação de um gás ideal é simplesmente \alpha=1/T (independente de P).

Passo 6

Calcular \kappa_{S} (compressibilidade adiabática / isentrópica). Duas rotas possíveis; mostro a rota por lei adiabática P V^{\gamma}= constante (mais direta) e confirmo com relação termodinâmica geral.
  • Defina \gamma=\dfrac{C_{P}}{C_{V}}. Para um gás ideal clássico com f graus, \gamma=\dfrac{f+2}{f}.
  • Para um processo adiabático reversível de gás ideal: P V^{\gamma}=\text{const}.Diferenciando implicitamente mantendo entropia S constante (ou seja, sobre a curva adiabática): V^{\gamma} + P\gamma V^{\gamma-1}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{S}=0.Isolando \left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{S}: \left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{S}=-\dfrac{V}{\gamma P}.Então \kappa_{S}=-\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{S}=\dfrac{1}{\gamma P}.
  • Verificação pela relação termodinâmica geral (opcional, mas instructivo): \kappa_{S}=\kappa_{T}-\dfrac{T V \alpha^{2}}{C_{P}}.Substituindo \kappa_{T}=1/P, \alpha=1/T e V=\dfrac{R T}{P}: \kappa_{S}=\dfrac{1}{P}-\dfrac{T\cdot \dfrac{R T}{P}\cdot \dfrac{1}{T^{2}}}{C_{P}} =\dfrac{1}{P}-\dfrac{R}{P\,C_{P}}=\dfrac{1}{P}\left(1-\dfrac{R}{C_{P}}\right).Como C_{P}=C_{V}+R, tem-se 1-\dfrac{R}{C_{P}}=\dfrac{C_{V}}{C_{P}}=\dfrac{1}{\gamma}. Assim \kappa_{S}=\dfrac{1}{\gamma P},que coincide com a derivação anterior.

Passo 7

Resumo final das fórmulas — pronto para decorar e usar na prova. Comentário de ânimo: memorize as formas simples \kappa_{T}=1/P, \alpha=1/T e C_{P}-C_{V}=R; o resto se segue direto.

Resposta

C_{V}=\dfrac{f}{2}R (molar, para gás ideal clássico com f graus de liberdade)\newline
C_{P}=C_{V}+R=\dfrac{f+2}{2}R\newline
\kappa_{T}=\dfrac{1}{P}\newline
\alpha=\dfrac{1}{T}\newline
\kappa_{S}=\dfrac{1}{\gamma P}=\dfrac{C_{V}}{C_{P}}\,\dfrac{1}{P}, onde \gamma=\dfrac{C_{P}}{C_{V}}=\dfrac{f+2}{f}.

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