[Questão 3] Determine
e
para um gás ideal.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que vou usar (sem resolver ainda).
- O pedido: determinar
, , , e para um gás ideal. - Convenção adotada: vou trabalhar com capacidades molares (por mol). Se quiser por massa, avisa depois — mas a passagem é só dividir por massa molar.
- Informação básica usada (lei dos gases ideais por mol):
onde é a pressão, o volume molar, a temperatura absoluta e a constante dos gases. - Definições que serão usadas:
-
(capacidade molar a volume constante). -
(capacidade molar a pressão constante), com entalpia molar. -
(compressibilidade isoterma). -
(compressibilidade adiabática/isentrópica). -
(coeficiente de dilatação térmica).
-
Passo 2
Entender como varia a energia interna e a entalpia do gás ideal (isso dá
e
).
- Propriedade chave do gás ideal: a energia interna molar
depende somente da temperatura, isto é . Isso significa que variações de com não dependem de . A razão física: não há energia potencial entre moléculas no gás ideal. - Por definição,
Como , é função de apenas (e para um gás perfeito clássico costuma ser constante). - A entalpia molar é
. Usando (por mol), Diferenciando em à pressão constante: Mas porque depende só de . Portanto chega-se ao resultado clássico: - Comentário prático e memória: essa relação é muito usada em provas — memorize:
(valendo por mol).
Passo 3
Dar uma forma mais concreta para
(quando a teoria cinética clássica se aplica) — mostrar o caso com graus de liberdade.
- Pela equipartição clássica, se uma molécula tem
graus de liberdade térmicos efetivos, a energia interna molar média é . Logo Consequência imediata: - Exemplos práticos (para decorar):
- gás monoatômico clássico:
. - gás diatômico (sem modos vibracionais excitados):
.
- gás monoatômico clássico:
- Observação importante: se o problema não especifica
, é suficiente usar a relação geral e, quando útil, escrever .
Passo 4
Calcular
(compressibilidade isoterma) diretamente a partir da lei dos gases.
- Definição:
- Para um mol de gás ideal, a equação de estado dá
- Derivando
em relação a a fixo: - Substituindo em
: Mas , então - Interpretação simples: a resposta óbvia — um gás ideal é mais “compressível” quanto menor a pressão;
.
Passo 5
Calcular
(coeficiente de expansão térmica) usando a mesma
.
- Definição:
- Para o gás ideal
. Derivando em a fixo: - Dividindo por
: - Interpretação: o coeficiente de dilatação de um gás ideal é simplesmente
(independente de ).
Passo 6
Calcular
(compressibilidade adiabática / isentrópica). Duas rotas possíveis; mostro a rota por lei adiabática
constante (mais direta) e confirmo com relação termodinâmica geral.
- Defina
. Para um gás ideal clássico com graus, . - Para um processo adiabático reversível de gás ideal:
Diferenciando implicitamente mantendo entropia constante (ou seja, sobre a curva adiabática): Isolando : Então - Verificação pela relação termodinâmica geral (opcional, mas instructivo):
Substituindo , e : Como , tem-se . Assim que coincide com a derivação anterior.
Passo 7
Resumo final das fórmulas — pronto para decorar e usar na prova. Comentário de ânimo: memorize as formas simples
,
e
; o resto se segue direto.