O gás nitrogênio é comprimido a partir de 80 kPa e 27^{\circ} \mathrm{C} para 480 kPa por um compressor de 10 kW . Considere \mathrm{R}=0.297 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e k =1.4 para o nitrogênio. Determine a taxa de fluxo de massa de nitrogênio através do compressor, assumindo que o processo de compressão seja
isotérmico

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão inicial: \,P_1 = 80\\ \text{kPa}.
    • Pressão final: \,P_2 = 480\\ \text{kPa}.
    • Temperatura inicial (e, por ser isotérmico, a temperatura do processo): \,T_1 = 27^\circ\mathrm{C}.
    • Potência do compressor (taxa de trabalho entregue ao gás): \,\dot{W} = 10\\ \text{kW}.
    • Constante dos gases para o nitrogênio: \,R = 0{,}297\\ \text{kJ}/\text{kg}\cdot\text{K}.
    • Constante adiabática \,k=1{,}4 (informação que não será necessária no caso isotérmico, mas foi dada).
  • O que a questão pede:
    • Determinar a taxa de fluxo de massa de nitrogênio através do compressor, assumindo compressão isotérmica.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (com explicação didática).
  • Para um gás ideal em um processo isotérmico reversível a temperatura constante \,T, a pressão e o volume satisfazem \,Pv = RT (onde \,v é o volume específico, por unidade de massa). O trabalho específico (trabalho por unidade de massa) efetuado durante a compressão reversível é obtido integrando
w = \int_{v_1}^{v_2} P\,dv = \int_{v_1}^{v_2} \frac{RT}{v}\,dv = RT\ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
  • Como \,Pv=RT, temos \,\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{P_1}{P_2}. Portanto uma forma conveniente é
w = RT\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
  • Atenção ao sinal e à convenção: essa expressão dá o trabalho específico realizado PELO sistema (o gás). Num compressor queremos a taxa de trabalho ALIMENTADA AO gás; em módulo (valor positivo) podemos escrever
w_{\text{in}} = R T \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right),
pois \ln(P_2/P_1) = -\ln(P_1/P_2) e P_2>P_1 para compressão. Aqui:
  • \,w_{\text{in}} é o trabalho por unidade de massa necessário para comprimir isotermicamente (unidades: \text{kJ}/\text{kg}).
  • \,R é a constante específica do gás ( \text{kJ}/\text{kg}\cdot\text{K}).
  • \,T é a temperatura absoluta em \text{K}.
  • As razões de pressão são adimensionais, então podem ser em kPa sem conversão.

Passo 3

Preparar valores numéricos e unidades consistentes.
  • Converter a temperatura para Kelvin:
T = 27^\circ\mathrm{C} + 273 = 300\\ \text{K}.
  • A razão de pressões:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{480}{80}=6.
  • A potência dada \,\dot{W}=10\\ \text{kW} corresponde a \,10\\ \text{kJ/s} (porque 1\\ \text{kW}=1\\ \text{kJ/s}). Essa unidade é consistente com w em \text{kJ}/\text{kg} para obter \dot{m} em \text{kg/s}.

Passo 4

Calcular o trabalho específico isotérmico por unidade de massa.
  • Primeiro calcular R T:
R T = 0{,}297\cdot 300 = 89{,}1\\ \text{kJ}/\text{kg}.
  • Agora calcular o fator logarítmico \ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)=\ln(6). O valor numérico é
\ln(6)\approx 1{,}791759.
  • Portanto o trabalho por unidade de massa (módulo) é
w_{\text{in}} = R T \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = 89{,}1\cdot 1{,}791759 \approx 159{,}6\\ \text{kJ}/\text{kg}.

Passo 5

Relacionar potência e vazão mássica e calcular a taxa de massa.
  • A relação entre potência e trabalho específico é
\dot{W} = \dot{m}\,w_{\text{in}}.
  • Isolando \dot{m}:
\dot{m} = \frac{\dot{W}}{w_{\text{in}}}.
  • Substituindo \dot{W}=10\\ \text{kJ/s} e w_{\text{in}}\approx 159{,}6\\ \text{kJ}/\text{kg}:
\dot{m} \approx \frac{10}{159{,}6} \approx 0{,}06266\\ \text{kg/s}.
  • Para dar uma ideia em unidades mais usuais, converto para \text{kg}/\text{h}:
\dot{m} \approx 0{,}06266\cdot 3600 \approx 225{,}6\\ \text{kg/h}.

Passo 6

Interpretação final e observações rápidas (pra te dar confiança).
  • Resultado obtido assume compressão isotérmica ideal e processo reversível (no mundo real um compressor tem irreversibilidades e a taxa real seria diferente; aqui usamos o modelo ideal pedido).
  • Verificação rápida das ordens de grandeza: trabalho específico \sim 160\\ \text{kJ/kg} é razoável para um salto de pressão de 6× a 300 K; potência de 10 kW leva, portanto, a uma vazão pequena, da ordem de centésimos de kg/s — faz sentido.

Resposta

\dot{m} \approx 0{,}0627\\ \mathrm{kg/s} \approx 225{,}6\\ \mathrm{kg/h}

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