Um sistema de condicionamento de ar opera à pressão atmosférica de 1 atm ( 101,325 kPa) e consiste em uma seção de aquecimento seguida de um resfriador evaporativo (umidificador adiabático). O ar atmosférico entra no sistema (Estado 1) a 10^{\circ} \mathrm{C} e 70% de umidade relativa, com uma vazão volumétrica de 50 m^3/min. O ar passa primeiro pela seção de aquecimento, saindo (Estado 2) a 32^{\circ} \mathrm{C}. Em seguida, o ar passa pelo resfriador evaporativo, onde água líquida é injetada adiabaticamente (linha h constante), saindo do sistema (Estado 3) a 20^{\circ} \mathrm{C}. determine:
  • A vazão mássica de ar seco através do sistema (ma), em kg/s. [5 pontos]
  • A taxa de transferência de calor na seção de aquecimento (Qaq), em kW. (8 pontos]
  • A umidade relativa na saída do sistema [7 pontos]
  • A taxa de água que deve ser fornecida ao resfriador evaporativo (mágua), em kg/h. (10 pontos]

Passo 1

O enunciado nos dá (valores que vou usar diretamente):
  • Pressão atmosférica: \,p=1\\ \text{atm}=101{,}325\\ \text{kPa}.
  • Estado 1 (entrada): temperatura \,T_1=10^\circ\mathrm{C}, umidade relativa \,\phi_1=70\%, vazão volumétrica \,\dot V=50\\ \mathrm{m^3/min}.
  • Estado 2 (após aquecimento): temperatura \,T_2=32^\circ\mathrm{C}. (Não há adição de vapor na seção de aquecimento, logo a razão de mistura \,w permanece igual em 1 e 2.)
  • Estado 3 (saída, após resfriador evaporativo adiabático): temperatura \,T_3=20^\circ\mathrm{C}. O resfriador é adiabático, portanto a entalpia específica do ar molhado é conservada: \,h_3=h_2.
O que o problema pede:
  • A vazão mássica de ar seco através do sistema \,m_a em \mathrm{kg/s}.
  • A taxa de transferência de calor na seção de aquecimento \, \dot Q_{\text{aq}} em \mathrm{kW}.
  • A umidade relativa na saída do sistema \,\phi_3 (em %).
  • A taxa de água que deve ser fornecida ao resfriador evaporativo \,\dot m_{\text{água}}á em \mathrm{kg/h}.
Dados auxiliares e convenções que vou usar (valores padrão):
  • Constante dos gases para o ar seco: \,R_d=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Fórmula prática para entalpia do ar molhado (energias em \mathrm{kJ/kg\\ dry\\ air}, temperatura em ^\circ\mathrm{C}):
h = 1{,}005\,T + w\,(2501 + 1{,}86\,T),
onde \,T é em ^\circ\mathrm{C} e \,w é a razão de mistura (\mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}).
  • Relação entre razão de mistura e pressão parcial do vapor:
w = 0{,}622\,\frac{p_v}{p - p_v},
onde \,p_v é a pressão parcial do vapor ( \mathrm{kPa}) e \,p a pressão total ( \mathrm{kPa}).
  • Valores de pressão de saturação do vapor d’água (valores de tabela padrão; estou usando valores tabulados):
    • \,p_{sat}(10^\circ\mathrm{C}) = 1{,}227\\ \mathrm{kPa}.
    • \,p_{sat}(20^\circ\mathrm{C}) = 2{,}339\\ \mathrm{kPa}.
    • \,p_{sat}(32^\circ\mathrm{C}) = 4{,}757\\ \mathrm{kPa}.

Passo 2

Calcular a razão de mistura no Estado 1 (entrada) a partir de \phi_1 e \,p_{sat}(T_1).
  1. Pressão parcial do vapor no Estado 1:
p_{v1} = \phi_1\, p_{sat}(T_1) = 0{,}70 \times 1{,}227\\ \mathrm{kPa} = 0{,}8589\\ \mathrm{kPa}.
  1. Razão de mistura \,w_1 (que será igual a \,w_2 porque o aquecedor não adiciona/retira massa de vapor):
w_1 = 0{,}622\,\frac{p_{v1}}{p - p_{v1}} =0{,}622\,\frac{0{,}8589}{101{,}325 - 0{,}8589} =0{,}005318\\ \text{kg vapor / kg ar seco}.
Expliquei: a fórmula vem da definição de razão de mistura e da relação entre pressões parciais para mistura ar + vapor (0,622 = M_v/M_da).

Passo 3

Calcular a vazão mássica de ar seco \,m_a.
A vazão volumétrica dada é
\dot V = 50\\ \mathrm{m^3/min} = \frac{50}{60}\\ \mathrm{m^3/s}=0{,}83333\\ \mathrm{m^3/s}.
Usamos a equação do gás ideal para o ar seco (pressão parcial = p - p_v) para obter a densidade do ar seco e, a partir dela, a vazão mássica de ar seco:
\rho_{da} = \frac{p - p_{v1}}{R_d\,T_1^{(K)}},
onde \,T_1^{(K)}=T_1+273{,}15=283{,}15\\ \mathrm{K} e atenção às unidades (converter \mathrm{kPa} para \mathrm{Pa}).
Calculei:
p - p_{v1} = 101{,}325 - 0{,}8589 = 100{,}466\\ \mathrm{kPa} = 100{,}466\cdot 10^3\\ \mathrm{Pa}.
\rho_{da} = \frac{100{,}466\times10^3}{287\times283{,}15} = 1{,}2368\\ \mathrm{kg/m^3}.
Logo a vazão mássica de ar seco é
m_a = \rho_{da}\,\dot V = 1{,}2368\times 0{,}83333 = 1{,}0307\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: \,m_a é a massa de ar seco que atravessa o sistema por segundo (não inclui a massa de vapor, que é pequena comparada e tratada pela razão de mistura).

Passo 4

Calcular a taxa de calor na seção de aquecimento \,\dot Q_{\text{aq}}.
Na seção de aquecimento não há troca de massa de vapor, portanto \,w_2=w_1. A taxa de calor é dada por
\dot Q_{\text{aq}} = m_a\,(h_2 - h_1),
onde h é entalpia por kg de ar seco (kJ/kg_ar_seco) dada pela fórmula prática.
Calcular h_1 (em \mathrm{kJ/kg}):
h_1 = 1{,}005\,T_1 + w_1\,(2501 + 1{,}86\,T_1).
Substituindo T_1=10^\circ\mathrm{C} e w_1=0{,}005318:
h_1 = 1{,}005\times 10 + 0{,}005318\times(2501 + 1{,}86\times 10) =10{,}05 + 0{,}005318\times2519{,}6 =10{,}05 + 13{,}389 \approx 23{,}439\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcular h_2 com T_2=32^\circ\mathrm{C} e w_2=w_1:
h_2 = 1{,}005\times 32 + 0{,}005318\times(2501 + 1{,}86\times 32) =32{,}16 + 0{,}005318\times2560{,}52 =32{,}16 + 13{,}609 \approx 45{,}769\\ \mathrm{kJ/kg}.
Diferença de entalpia:
\Delta h = h_2 - h_1 = 45{,}769 - 23{,}439 = 22{,}330\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto a taxa de calor:
\dot Q_{\text{aq}} = m_a\,\Delta h = 1{,}0307\\ \mathrm{kg/s}\times 22{,}330\\ \mathrm{kJ/kg} = 23{,}00\\ \mathrm{kW}.
Observação de sinal: é calor fornecido ao ar (positivo).

Passo 5

Determinar o estado 3 usando a condição do resfriador evaporativo adiabático: \,h_3=h_2 e \,T_3=20^\circ\mathrm{C}. Assim encontramos a razão de mistura \,w_3.
Usamos a fórmula da entalpia em T_3:
h_3 = 1{,}005\,T_3 + w_3\,(2501 + 1{,}86\,T_3).
Queremos h_3=h_2=45{,}769\\ \mathrm{kJ/kg} e T_3=20^\circ\mathrm{C}, então
45{,}769 = 1{,}005\times 20 + w_3\,(2501 + 1{,}86\times 20).
Calcule as constantes:
1{,}005\times20 = 20{,}10,\qquad 2501 + 1{,}86\times20 = 2538{,}2.
Logo
w_3 = \frac{45{,}769 - 20{,}10}{2538{,}2} = \frac{25{,}669}{2538{,}2} = 0{,}01011\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.

Passo 6

Calcular a umidade relativa na saída \phi_3.
Primeiro obtenha a pressão parcial do vapor no Estado 3 a partir de w_3:
w_3 = 0{,}622\,\frac{p_{v3}}{p - p_{v3}} \quad\Rightarrow\quad p_{v3} = \frac{w_3\,p}{0{,}622 + w_3}.
Substituindo w_3=0{,}01011 e p=101{,}325\\ \mathrm{kPa}:
p_{v3} = \frac{0{,}01011\times101{,}325}{0{,}622 + 0{,}01011} = \frac{1{,}0235}{0{,}63211} = 1{,}619\\ \mathrm{kPa}.
A partir disso a umidade relativa em T_3=20^\circ\mathrm{C} é
\phi_3 = \frac{p_{v3}}{p_{sat}(20^\circ\mathrm{C})} = \frac{1{,}619}{2{,}339} = 0{,}6922 \approx 69{,}22\%.

Passo 7

Calcular a taxa de água fornecida ao resfriador evaporativo \dot m_{\text{água}}á.
A massa de água evaporada por segundo é a diferença na razão de mistura vezes a vazão mássica de ar seco:
\dot m_{\text{água}} = m_a\,(w_3 - w_2).á
Lembrando w_2=w_1=0{,}005318 e w_3=0{,}01011, e m_a=1{,}0307\\ \mathrm{kg/s}:
\Delta w = w_3 - w_2 = 0{,}01011 - 0{,}005318 = 0{,}004792.
\dot m_{\text{água}} = 1{,}0307\times 0{,}004792 = 0{,}00494\\ \mathrm{kg/s}.á
Converter para \mathrm{kg/h}:
\dot m_{\text{água}} = 0{,}00494\times 3600 = 17{,}78\\ \mathrm{kg/h}.á
Interpretação prática: esse é o fluxo de água que precisa evaporar dentro do evaporador adiabático para elevar w de w_2 para w_3 e resfriar o ar para 20^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\,m_a \approx 1{,}031\\ \mathrm{kg/s}
\,\dot Q_{\text{aq}} \approx 23{,}0\\ \mathrm{kW}
\,\phi_3 \approx 69{,}2\\ \%
\,\dot m_{\text{água}} \approx 17{,}8\\ \mathrm{kg/h}á

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