Um sistema isolado de massa m é formado misturando-se duas massas iguais do mesmo líquido. Inicialmente as massas do líquido se encontram nas temperaturas T1 e T2, respectivamente. No estado final, o sistema se encontra em equilíbrio. Considerando o líquido como uma substância incompressível com calor específico c constante,
Demonstre que a entropia gerada é dada por
sigma=m cdot c ln (T1+T22 raizT1 cdot T2)

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui? É um problema de termodinâmica: misturar duas porções iguais de um líquido (cada uma com massa m/2), que estão em temperaturas diferentes T1 e T2. O sistema é isolado, o líquido é incompressível e tem calor específico constante c.
O que vamos precisar:
  • Conservação de energia (calorimetria) para achar a temperatura de equilíbrio Tf.
  • Definição de entropia geral: De.

Passo 2

Primeiro, energia: como não escapa nem entra calor, a soma de energias internas antes e depois é a mesma. Cada parte tem massa m/2, então
m2,c,T1 ;+;m2,c,T2 ;=;(m),c,Tf
Isolando Tf:
Tf =m2,c,T1+m2,c,T2m,c =T1+T22

Passo 3

Agora, entropia. Pra um corpo incompressível com c constante, a variação de entropia ao ir de Ti a Tf é
De
Cada porção tem mi=m/2, então:
De

Passo 4

A entropia gerada (total) é a soma das duas variações:
sigma =De
Substituindo Tf=tfracT1+T22:
sigma =m,c2ln!l(l(tfracT1+T22r)^2T1T2r) =m,cln!l(T1+T22raizT1T2r)

Resposta

sigma =m,c;ln!l(T1+T22raizT1T2r)

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