Ar é submetido a um processo politrópico de 125 kPa e 325 K até 300 kPa e 500 K . encontre o coeficiente politrópico e o calor e trabalhos específicos do processo, em kJ/kg.
\begin{aligned} & \mathrm{p}_{1}=125[\mathrm{kPa}] \\\ & \mathrm{T}_{1}=325[\mathrm{~K}] \\\ & \mathrm{v}_{1}=\mathbf{v}\left({ }^{\prime} \text { Air' } ; \mathrm{P}=\mathrm{p}_{1} ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{1}\right) \\\ & \mathrm{u}_{1}=\mathbf{u}\left({ }^{\prime} \text { Air' } ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{1}\right) \\\ & \mathrm{p}_{2}=300[\mathrm{kPa}] \\\ & \mathrm{T}_{2}=500[\mathrm{~K}] \\\ & \mathrm{v}_{2}=\mathbf{v}\left({ }^{\prime} \text { Air'; } \mathrm{P}=\mathrm{p}_{2} ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{2}\right) \\\ & \mathrm{u}_{2}=\mathbf{u}\left({ }^{\prime} \text { Air'; } \mathrm{T}=\mathrm{T}_{2}\right) \\\ & \mathrm{p}_{1} \cdot \mathrm{v}_{1}{ }^{\mathrm{n}}=\mathrm{p}_{2} \cdot \mathrm{v}_{2}{ }^{\mathrm{n}} \\\ & \mathrm{~W}_{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{p}_{2} \cdot \mathrm{v}_{2}-\mathrm{p}_{1} \cdot \mathrm{v}_{1}}{1-\mathrm{n}} \\\ & \mathrm{u}_{2}-\mathrm{u}_{1}=\mathrm{Q}_{\mathrm{m}}-\mathrm{W}_{\mathrm{m}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece os estados inicial e final do ar e pede: encontrar o coeficiente politrópico n, o trabalho específico W_{\mathrm{m}} do processo e o calor específico Q_{\mathrm{m}} trocado, todos em [\mathrm{kJ/kg}].
Informações dadas:
  • p_{1}=125\\ \mathrm{kPa}
  • T_{1}=325\\ \mathrm{K}
  • v_{1}=0{,}7463\\ \mathrm{m^{3}/kg} (valor fornecido na tabela/imagem)
  • u_{1}=232{,}3\\ \mathrm{kJ/kg} (valor fornecido na tabela/imagem)
  • p_{2}=300\\ \mathrm{kPa}
  • T_{2}=500\\ \mathrm{K}
  • v_{2}=0{,}4784\\ \mathrm{m^{3}/kg} (valor fornecido na tabela/imagem)
  • u_{2}=359{,}8\\ \mathrm{kJ/kg} (valor fornecido na tabela/imagem)
As relações a usar (fornecidas no enunciado):
p_{1}v_{1}^{\,n}=p_{2}v_{2}^{\,n}
W_{\mathrm{m}}=\frac{p_{2}v_{2}-p_{1}v_{1}}{1-n}
u_{2}-u_{1}=Q_{\mathrm{m}}-W_{\mathrm{m}}

Passo 2

Determinar o expoente politrópico n. A partir de \,p_{1}v_{1}^{n}=p_{2}v_{2}^{n}\, isolamos n. Dividindo os dois lados por p_{1} e reorganizando:
\frac{p_{2}}{p_{1}}=\left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{n}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
n=\frac{\ln\!\left(\dfrac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{v_{1}}{v_{2}}\right)}.
Agora substituímos os valores (todos em unidades consistentes):
\frac{p_{2}}{p_{1}}=\frac{300}{125}=2{,}4, \qquad \frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{0{,}7463}{0{,}4784}\approx1{,}56093.
Calcule os logaritmos:
\ln(2{,}4)\approx0{,}8754687,\qquad \ln(1{,}56093)\approx0{,}4446260.
Portanto
n=\frac{0{,}8754687}{0{,}4446260}\approx1{,}969.

Passo 3

Calcular o trabalho específico W_{\mathrm{m}} usando
W_{\mathrm{m}}=\frac{p_{2}v_{2}-p_{1}v_{1}}{1-n}.
Primeiro calcule p_{1}v_{1} e p_{2}v_{2}. Observação de unidades: p em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m^{3}/kg} p\cdot v em \mathrm{kPa\cdot m^{3}/kg}=\mathrm{kJ/kg} (pois 1\\ \mathrm{kPa}\cdot1\\ \mathrm{m^{3}}=1\\ \mathrm{kJ}).
Cálculos:
p_{1}v_{1}=125\cdot0{,}7463=93{,}2875\\ \mathrm{kJ/kg},
p_{2}v_{2}=300\cdot0{,}4784=143{,}52\\ \mathrm{kJ/kg}.
Diferença:
p_{2}v_{2}-p_{1}v_{1}=143{,}52-93{,}2875=50{,}2325\\ \mathrm{kJ/kg}.
Denominador:
1-n=1-1{,}969=-0{,}969.
Logo
W_{\mathrm{m}}=\frac{50{,}2325}{-0{,}969}\approx-51{,}85\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação rápida do sinal: aqui W_{\mathrm{m}} segue a convenção usada na fórmula do enunciado (positivo quando o sistema realiza trabalho). O valor negativo significa que, no processo ocorrido (diminuição de volume), o trabalho foi realizado sobre o sistema (trabalho do ambiente no sistema).

Passo 4

Calcular a variação de energia interna específica \Delta u = u_{2}-u_{1} usando os valores fornecidos na tabela/imagem:
\Delta u = u_{2}-u_{1}=359{,}8-232{,}3=127{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Determinar o calor específico Q_{\mathrm{m}}. A primeira lei escrita no enunciado é
u_{2}-u_{1}=Q_{\mathrm{m}}-W_{\mathrm{m}}.
Isolando Q_{\mathrm{m}}:
Q_{\mathrm{m}}=u_{2}-u_{1}+W_{\mathrm{m}}.
Substituindo \Delta u=127{,}5\\ \mathrm{kJ/kg} e W_{\mathrm{m}}=-51{,}85\\ \mathrm{kJ/kg}:
Q_{\mathrm{m}}=127{,}5+(-51{,}85)=75{,}65\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Arredondamentos finais com apresentação clara dos resultados (mantendo razoável número de algarismos significativos):
  • n\approx1{,}969
  • W_{\mathrm{m}}\approx-51{,}85\\ \mathrm{kJ/kg}
  • Q_{\mathrm{m}}\approx75{,}65\\ \mathrm{kJ/kg}

Resposta

n=1{,}969
W_{\mathrm{m}}=-51{,}85\\ \mathrm{kJ/kg}
Q_{\mathrm{m}}=75{,}65\\ \mathrm{kJ/kg}

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