Dióxido de carbono (
) está contido em um conjunto pistão cilindro, inicialmente a 6 bar e 400 K , e é submetido a uma expansão até um estado final onde a temperatura é de 298 K , em um processo politrópico com
. Assumindo comportamento de gás ideal, determine a pressão final, em bar, e o trabalho específico e a transferência de calor específica, ambos em kJ/kg.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado (peguei todos os números do enunciado):
- Dados:
-
. -
(isto é ). -
. -
. - Assumir comportamento de gás ideal para
.
-
- O que é pedido:
- A pressão final
em bar. - O trabalho específico
em . - A transferência de calor específica
em .
- A pressão final
Observações úteis (que usarei nos passos seguintes):
- Equação do gás ideal em forma específica:
, onde está em , em , em (porque ). - Relação politrópica dada:
. - Fórmula do trabalho para processo politrópico (por unidade de massa):
- Conservação de energia (primeira lei, por unidade de massa):
e para gás ideal .
Passo 2
Calcular a constante específica
do
.
- Constante universal dos gases:
quando escrita em . - Massa molar do
: . - Constante específica:
Explicação curta:
relaciona pressão, volume específico e temperatura pelo gás ideal; converti para
porque vou trabalhar com
e querer resultados em
.
Passo 3
Calcular o volume específico inicial
usando o gás ideal.
- Usando
, temos - Fazendo a conta:
Breve didática: esse é apenas o rearranjo da equação
. Repare que com
em
e
em
o produto
tem unidades
, consistente com
.
Passo 4
Derivar uma fórmula prática para
usando a relação politrópica e o gás ideal.
- Partimos de
. - Como
, escrevemos . - Substituindo em
e fazendo álgebra (passo-a-passo):
- Tomando potência
dos dois lados:
Explicação: esse resultado é muito útil porque relaciona as pressões diretamente em função das temperaturas para um processo politrópico quando o gás é ideal.
Passo 5
Aplicar a fórmula para obter
numericamente.
- Primeiro calcule o expoente:
- Portanto
- Calcular
: - Logo
- Converter para bar:
Interpretação curta: a pressão caiu bastante porque o processo expandiu e a temperatura final é menor; o expoente negativo fez com que
acompanhasse
.
Passo 6
Calcular
via gás ideal (verificação e uso posterior).
- Usando
: - Observação: nota-se que
, e .
Passo 7
Calcular o trabalho específico
usando a fórmula politrópica.
- Fórmula:
- Substituir os valores (usar que
já está em ):
- Arredondando de forma razoável:
.
Didática sobre sinal:
significa que o sistema realizou trabalho sobre o entorno (trabalho de saída) durante a expansão.
Passo 8
Calcular a variação de energia interna
. Justificar como obter
.
- Para gás ideal,
. - Precisamos de
do . Como o enunciado não fornece tabelas, adoto o procedimento padrão em termodinâmica aplicada: usar típico de em torno da faixa de temperatura considerada e calcular . - Valor típico (tabela de propriedades de
em temperatura ambiente/alta): (valor tabelado próximo a ). Então
Nota didática: essa aproximação de
constante é usual em exercícios se não há tabela; ela dá uma estimativa consistente. Com isso,
.
Passo 9
Calcular numericamente
.
- Usando
:
Interpretação: a energia interna do gás diminuiu (sinal negativo) ao reduzir a temperatura.
Passo 10
Calcular a transferência de calor específica
pela primeira lei:
.
- Substituindo os valores já calculados:
- Arredondando:
.
Interpretação do sinal:
significa que, apesar da queda de energia interna, houve calor recebido pelo sistema (o trabalho de expansão foi maior que a perda de energia interna, então foi necessário aporte de calor).
Passo 11
Resumo das unidades e sinais (checagem final):
-
obtido em e convertido para . -
e em . - Sinais:
trabalho realizado pelo sistema; calor recebido pelo sistema.