Dióxido de carbono ( \mathrm{CO}_{2} ) está contido em um conjunto pistão cilindro, inicialmente a 6 bar e 400 K , e é submetido a uma expansão até um estado final onde a temperatura é de 298 K , em um processo politrópico com \mathrm{n}=1,2. Assumindo comportamento de gás ideal, determine a pressão final, em bar, e o trabalho específico e a transferência de calor específica, ambos em kJ/kg.
\begin{aligned} & \mathrm{n}=1,2[-] \\\ & \mathrm{p}_{1}=600[\mathrm{kPa}] \\\ & \mathrm{T}_{1}=400[\mathrm{~K}] \\\ & \mathrm{v}_{1}=\mathbf{v}\left({ }^{\prime} \mathrm{CO} 2^{\prime} ; \mathrm{P}=\mathrm{p}_{1} ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{1}\right) \\\ & \mathrm{u}_{1}=\mathbf{u}\left({ }^{\prime} \mathrm{CO} 2^{\prime} ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{1}\right) \\\ & \mathrm{T}_{2}=298[\mathrm{~K}] \\\ & \mathrm{v}_{2}=\mathbf{v}\left({ }^{\prime} \mathrm{CO} 2^{\prime} ; \mathrm{P}=\mathrm{p}_{2} ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{2}\right) \\\ & \mathrm{u}_{2}=\mathbf{u}\left({ }^{\prime} \mathrm{CO} 2^{\prime} ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{2}\right) \\\ & \mathrm{p}_{1} \cdot \mathrm{v}_{1}{ }^{n}=\mathrm{p}_{2} \cdot \mathrm{v}_{2}{ }^{n} \\\ & \mathrm{~W}_{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{p}_{2} \cdot \mathrm{v}_{2}-\mathrm{p}_{1} \cdot \mathrm{v}_{1}}{1-\mathrm{n}} \\\ & \mathrm{u}_{2}-\mathrm{u}_{1}=\mathrm{Q}_{\mathrm{m}}-\mathrm{W}_{\mathrm{m}} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado (peguei todos os números do enunciado):
  • Dados:
    • \mathrm{n}=1{,}2.
    • \mathrm{p}_1=600\\ \mathrm{kPa} (isto é 6\\ \mathrm{bar}).
    • \mathrm{T}_1=400\\ \mathrm{K}.
    • \mathrm{T}_2=298\\ \mathrm{K}.
    • Assumir comportamento de gás ideal para \mathrm{CO}_2.
  • O que é pedido:
    • A pressão final \mathrm{p}_2 em bar.
    • O trabalho específico \mathrm{W}_{\mathrm{m}} em \mathrm{kJ/kg}.
    • A transferência de calor específica \mathrm{Q}_{\mathrm{m}} em \mathrm{kJ/kg}.
Observações úteis (que usarei nos passos seguintes):
  • Equação do gás ideal em forma específica: \mathrm{p}\,\mathrm{v}=R\,T, onde \mathrm{p} está em \mathrm{kPa}, \mathrm{v} em \mathrm{m^3/kg}, R em \mathrm{kJ/(kg\,K)} (porque 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\\ \mathrm{kJ}).
  • Relação politrópica dada: \mathrm{p}_1\mathrm{v}_1^{\,n}=\mathrm{p}_2\mathrm{v}_2^{\,n}.
  • Fórmula do trabalho para processo politrópico (por unidade de massa): \mathrm{W}_{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{p}_2\mathrm{v}_2-\mathrm{p}_1\mathrm{v}_1}{1-\mathrm{n}}.
  • Conservação de energia (primeira lei, por unidade de massa): \mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1=\mathrm{Q}_{\mathrm{m}}-\mathrm{W}_{\mathrm{m}},e para gás ideal \mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1=c_v(\,T_2-T_1\,).

Passo 2

Calcular a constante específica R do \mathrm{CO}_2.
  • Constante universal dos gases: R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{kJ/(kmol\,K)} quando escrita em \mathrm{kJ}.
  • Massa molar do \mathrm{CO}_2: M\approx0{,}04401\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Constante específica: R=\frac{R_u}{M}=\frac{8{,}314462618}{0{,}04401}=188{,}92\\ \mathrm{J/(kg\,K)}=0{,}18892\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
Explicação curta: R relaciona pressão, volume específico e temperatura pelo gás ideal; converti para \mathrm{kJ/(kg\,K)} porque vou trabalhar com \mathrm{kPa} e querer resultados em \mathrm{kJ/kg}.

Passo 3

Calcular o volume específico inicial \mathrm{v}_1 usando o gás ideal.
  • Usando \mathrm{p}_1\mathrm{v}_1=R\,T_1, temos \mathrm{v}_1=\frac{R\,T_1}{\mathrm{p}_1}=\frac{0{,}18892\cdot400}{600}.
  • Fazendo a conta: 0{,}18892\cdot400=75{,}568\quad\Rightarrow\quad \mathrm{v}_1=\frac{75{,}568}{600}=0{,}125946\\ \mathrm{m^3/kg}.
Breve didática: esse é apenas o rearranjo da equação p v = R T. Repare que com p em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m^3/kg} o produto p v tem unidades \mathrm{kJ/kg}, consistente com R T.

Passo 4

Derivar uma fórmula prática para \mathrm{p}_2 usando a relação politrópica e o gás ideal.
  • Partimos de \mathrm{p}_1\mathrm{v}_1^{\,n}=\mathrm{p}_2\mathrm{v}_2^{\,n}.
  • Como \mathrm{v}=\dfrac{R T}{p}, escrevemos \dfrac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=\dfrac{(R T_1/\mathrm{p}_1)}{(R T_2/\mathrm{p}_2)}=\dfrac{T_1}{T_2}\cdot\dfrac{\mathrm{p}_2}{\mathrm{p}_1}.
  • Substituindo em \mathrm{p}_2=\mathrm{p}_1\left(\dfrac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}\right)^{n} e fazendo álgebra (passo-a-passo): \mathrm{p}_2=\mathrm{p}_1\left(\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}\right)^{n} =\mathrm{p}_1\left(\frac{T_1}{T_2}\cdot\frac{\mathrm{p}_2}{\mathrm{p}_1}\right)^{n}.
\mathrm{p}_2=\mathrm{p}_1^{1-n}\,\mathrm{p}_2^{\,n}\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{n}.
\mathrm{p}_2^{\,1-n}=\mathrm{p}_1^{\,1-n}\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{n}.
\left(\frac{\mathrm{p}_2}{\mathrm{p}_1}\right)^{1-n}=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{n}.
  • Tomando potência 1/(1-n) dos dois lados: \frac{\mathrm{p}_2}{\mathrm{p}_1}=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\dfrac{n}{\,1-n\,}}.
Explicação: esse resultado é muito útil porque relaciona as pressões diretamente em função das temperaturas para um processo politrópico quando o gás é ideal.

Passo 5

Aplicar a fórmula para obter \mathrm{p}_2 numericamente.
  • Primeiro calcule o expoente: \frac{n}{1-n}=\frac{1{,}2}{1-1{,}2}=\frac{1{,}2}{-0{,}2}=-6.
  • Portanto \frac{\mathrm{p}_2}{\mathrm{p}_1}=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{-6}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{6}.
  • Calcular \left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{6}: \frac{T_2}{T_1}=\frac{298}{400}=0{,}745, \quad \left(0{,}745\right)^{6}\approx0{,}1710.
  • Logo \mathrm{p}_2=\mathrm{p}_1\cdot0{,}1710=600\cdot0{,}1710=102{,}6\\ \mathrm{kPa}.
  • Converter para bar: 102{,}6\\ \mathrm{kPa}=1{,}026\\ \mathrm{bar}.
Interpretação curta: a pressão caiu bastante porque o processo expandiu e a temperatura final é menor; o expoente negativo fez com que p_2 acompanhasse (T_2/T_1)^6.

Passo 6

Calcular \mathrm{v}_2 via gás ideal (verificação e uso posterior).
  • Usando \mathrm{v}_2=\dfrac{R\,T_2}{\mathrm{p}_2}: \mathrm{v}_2=\frac{0{,}18892\cdot298}{102{,}6}=\frac{56{,}29816}{102{,}6}=0{,}5488\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Observação: nota-se que \mathrm{p}_2\mathrm{v}_2=R T_2=56{,}298\\ \mathrm{kJ/kg}, e \mathrm{p}_1\mathrm{v}_1=R T_1=75{,}568\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Calcular o trabalho específico \mathrm{W}_{\mathrm{m}} usando a fórmula politrópica.
  • Fórmula: \mathrm{W}_{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{p}_2\mathrm{v}_2-\mathrm{p}_1\mathrm{v}_1}{1-\mathrm{n}}.
  • Substituir os valores (usar que \mathrm{p}\mathrm{v} já está em \mathrm{kJ/kg}): \mathrm{p}_2\mathrm{v}_2=56{,}298\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad \mathrm{p}_1\mathrm{v}_1=75{,}568\\ \mathrm{kJ/kg}.
\mathrm{W}_{\mathrm{m}}=\frac{56{,}298-75{,}568}{1-1{,}2}=\frac{-19{,}26984}{-0{,}2}=96{,}3492\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Arredondando de forma razoável: \mathrm{W}_{\mathrm{m}}\approx96{,}35\\ \mathrm{kJ/kg}.
Didática sobre sinal: \mathrm{W}_{\mathrm{m}}>0 significa que o sistema realizou trabalho sobre o entorno (trabalho de saída) durante a expansão.

Passo 8

Calcular a variação de energia interna \mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1. Justificar como obter c_v.
  • Para gás ideal, \mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1=c_v\left(T_2-T_1\right).
  • Precisamos de c_v do \mathrm{CO}_2. Como o enunciado não fornece tabelas, adoto o procedimento padrão em termodinâmica aplicada: usar c_p típico de \mathrm{CO}_2 em torno da faixa de temperatura considerada e calcular c_v=c_p-R.
  • Valor típico (tabela de propriedades de \mathrm{CO}_2 em temperatura ambiente/alta): c_p\approx0{,}844\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} (valor tabelado próximo a 300\!-\!400\\ \mathrm{K}). Então c_v=c_p-R=0{,}844-0{,}18892=0{,}65508\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
Nota didática: essa aproximação de c_p constante é usual em exercícios se não há tabela; ela dá uma estimativa consistente. Com isso, \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}\approx\frac{0{,}844}{0{,}65508}\approx1{,}2879.

Passo 9

Calcular numericamente \mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1.
  • Usando c_v=0{,}65508\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}: \mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1=c_v\,(T_2-T_1)=0{,}65508\cdot(298-400)=0{,}65508\cdot(-102)=-66{,}872\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: a energia interna do gás diminuiu (sinal negativo) ao reduzir a temperatura.

Passo 10

Calcular a transferência de calor específica \mathrm{Q}_{\mathrm{m}} pela primeira lei: \mathrm{Q}_{\mathrm{m}}=\mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1+\mathrm{W}_{\mathrm{m}}.
  • Substituindo os valores já calculados: \mathrm{Q}_{\mathrm{m}}=-66{,}872+96{,}3492=29{,}4772\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Arredondando: \mathrm{Q}_{\mathrm{m}}\approx29{,}48\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação do sinal: \mathrm{Q}_{\mathrm{m}}>0 significa que, apesar da queda de energia interna, houve calor recebido pelo sistema (o trabalho de expansão foi maior que a perda de energia interna, então foi necessário aporte de calor).

Passo 11

Resumo das unidades e sinais (checagem final):
  • \mathrm{p}_2 obtido em \mathrm{kPa} e convertido para \mathrm{bar}.
  • \mathrm{W}_{\mathrm{m}} e \mathrm{Q}_{\mathrm{m}} em \mathrm{kJ/kg}.
  • Sinais: \mathrm{W}_{\mathrm{m}}>0 trabalho realizado pelo sistema; \mathrm{Q}_{\mathrm{m}}>0 calor recebido pelo sistema.

Resposta

\mathrm{p}_2=1{,}026\\ \mathrm{bar}
\mathrm{W}_{\mathrm{m}}=96{,}35\\ \mathrm{kJ/kg}
\mathrm{Q}_{\mathrm{m}}=29{,}48\\ \mathrm{kJ/kg}

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