Um tanque de armazenamento rígido de
é ligado a uma linha de abastecimento por uma válvula e a um conjunto cilindro-pistão através de outra válvula. Inicialmente o tanque contém vapor de água a
e ambas as válvulas estão fechadas. A válvula entre a linha de abastecimento é aberta e o tanque é abastecido com vapor de água proveniente da linha de abastecimento a 5 MPa e
até que sua pressão atinja 2000 kPa e a válvula entre o tanque e a linha é fechada. Durante o processo de abastecimento não há perda de calor para o ambiente e válvula entre o tanque de armazenamento e o conjunto cilindro-pistão permanece fechada. Determine a temperatura do tanque ao final do processo de abastecimento.
Passo 1
Resumo do que temos e do que vamos usar
Temos um tanque rígido de V=5 m³ que inicialmente contém vapor d’água a P₁=100 kPa e T₁=150 °C. Depois abrimos só a válvula da linha de abastecimento (Pᵢₙ=5 MPa, Tᵢₙ=450 °C) até a pressão do tanque chegar a P₂=2000 kPa. Não há troca de calor com o ambiente (Q=0) e o volume do tanque não muda (é rígido). A outra válvula (para o pistão) fica sempre fechada.
Conteúdo da matéria:
Temos um tanque rígido de V=5 m³ que inicialmente contém vapor d’água a P₁=100 kPa e T₁=150 °C. Depois abrimos só a válvula da linha de abastecimento (Pᵢₙ=5 MPa, Tᵢₙ=450 °C) até a pressão do tanque chegar a P₂=2000 kPa. Não há troca de calor com o ambiente (Q=0) e o volume do tanque não muda (é rígido). A outra válvula (para o pistão) fica sempre fechada.
Conteúdo da matéria:
- 1ª Lei da Termodinâmica para sistema de controle com escoamento (balanço de energia)
- Propriedades termodinâmicas do vapor (u, h, v) em tabelas de vapor d’água
O que vamos precisar:
- Pegar em tabela superaquecido: v₁ e u₁ para P₁, T₁; hᵢₙ para Pᵢₙ, Tᵢₙ.
- Fazer balanço de energia: m₂u₂ − m₁u₁ = mᵢₙ·hᵢₙ, com mᵢₙ = m₂ − m₁.
- Usar V constante: m = V/v para achar m₁ e m₂ em função de v₁ e v₂.
- Resolver a equação implícita para u₂ e v₂ (que dependem da T₂) e iterar até achar T₂.
Passo 2
Propriedades do estado inicial e do fluido de entrada
- Estado 1 (P₁=100 kPa, T₁=150 °C):
- Da tabela: v₁ = 1,091 m³/kg
- u₁ = 2550,8 kJ/kg
- Estado de entrada (Pᵢₙ=5 MPa, Tᵢₙ=450 °C):
- Da tabela: hᵢₙ = 3247,7 kJ/kg
Passo 3
Balanço de energia para o volume de controle (tanque)
A 1ª Lei para controle com escoamento e sem variação de energia cinética e potencial diz:
Q − W + ∑mᵢₙ·hᵢₙ = m₂·u₂ − m₁·u₁
Como Q=0, W=0 e não há massa saindo, sobra:
m₂·u₂ − m₁·u₁ = mᵢₙ·hᵢₙ
e mᵢₙ = m₂ − m₁
A 1ª Lei para controle com escoamento e sem variação de energia cinética e potencial diz:
Q − W + ∑mᵢₙ·hᵢₙ = m₂·u₂ − m₁·u₁
Como Q=0, W=0 e não há massa saindo, sobra:
m₂·u₂ − m₁·u₁ = mᵢₙ·hᵢₙ
e mᵢₙ = m₂ − m₁
Passo 4
Expressão em função dos volumes específicos
Sabendo que m = V/v, temos
m₁ = V / v₁ e m₂ = V / v₂
Substituindo no balanço:
(V/v₂)·u₂ − (V/v₁)·u₁ = [(V/v₂) − (V/v₁)]·hᵢₙ
Dividindo tudo por V e reorganizando:
u₂ = v₂·(u₁ − hᵢₙ)/v₁ + hᵢₙ
Esta é a equação que envolve u₂ e v₂ (ambos funções de T₂ para P₂=2000 kPa).
Sabendo que m = V/v, temos
m₁ = V / v₁ e m₂ = V / v₂
Substituindo no balanço:
(V/v₂)·u₂ − (V/v₁)·u₁ = [(V/v₂) − (V/v₁)]·hᵢₙ
Dividindo tudo por V e reorganizando:
u₂ = v₂·(u₁ − hᵢₙ)/v₁ + hᵢₙ
Esta é a equação que envolve u₂ e v₂ (ambos funções de T₂ para P₂=2000 kPa).
Passo 5
Iteração usando tabela superaquecida a P₂=2000 kPa
Definimos f(T₂) = u₂(tabela) − [v₂(tabela)·(u₁−hᵢₙ)/v₁ + hᵢₙ] = 0
Numericamente:
(u₁ − hᵢₙ)/v₁ = (2550,8 − 3247,7)/1,091 ≈ −638,8 kJ·m⁻³
Logo RHS = −638,8·v₂ + 3247,7
Testamos na tabela de 2 MPa:
Definimos f(T₂) = u₂(tabela) − [v₂(tabela)·(u₁−hᵢₙ)/v₁ + hᵢₙ] = 0
Numericamente:
(u₁ − hᵢₙ)/v₁ = (2550,8 − 3247,7)/1,091 ≈ −638,8 kJ·m⁻³
Logo RHS = −638,8·v₂ + 3247,7
Testamos na tabela de 2 MPa:
- A 400 °C: v₂=0,1456, u₂=3105,2 → RHS=3146,6 → f=3105,2−3146,6=−41,4
- A 450 °C: v₂=0,1582, u₂=3168,8 → RHS=3146,6→ f=3168,8−3146,6=+22,2
A raiz está entre 400 °C e 450 °C. Interpolando (ou refazendo teste em ~435 °C) dá f≈0.
Resultado aproximado: T₂ ≃ 434 °C
Resposta
A temperatura do vapor no tanque ao final do abastecimento é aproximadamente 434 °C.