Um tanque de retenção está instalado num processo de tratamento de efluentes aquoso para atenuar flutuações da concentração na corrente do efluente. Normalmente a alimentação de efluente para o tanque não contem mais do que 100 ppm de acetona. A concentração máxima admissível de acetona na descarga de efluente está fixada em 200 ppm . A capacidade útil do tanque é 500 \mathrm{~m}^{3}(500000 \mathrm{~kg}) e pode considerar que ele está perfeitamente misturado. A vazão de efluente é 45000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Se a concentração da acetona na alimentação subir bruscamente para 1500 ppm , devido a um vazamento na instalação de processamento. Determine o tempo para alcançar a concentração permitida por legislação.? (2,Opts)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Capacidade útil do tanque: \,V=500\\ \mathrm{m^3}=500000\\ \mathrm{kg}.
  • Vazão da corrente de efluente: \,Q=45000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Concentração inicial no tanque (estado normal): \,C(0)=100\\ \text{ppm}. (isto decorre do fato de que, normalmente, a alimentação não contém mais que 100\\ \text{ppm} e o tanque estava em regime estacionário antes do surto).
  • Concentração de alimentação após o vazamento (salto brusco): \,C_{\text{in}}=1500\\ \text{ppm}.
  • Concentração máxima admissível na descarga: \,C_{\text{lim}}=200\\ \text{ppm}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o tempo necessário para que a concentração no tanque (e, portanto, na descarga, pois o tanque é perfeitamente misturado) atinja \,C_{\text{lim}}=200\\ \text{ppm} após a subida brusca da alimentação para \,1500\\ \text{ppm}.

Passo 2

Qual é o modelo físico e a equação que vamos usar?
Num tanque perfeitamente misturado, a concentração no tanque é uniforme e igual à concentração de saída. Fazendo balanço de massa da substância (acetona) no tanque, temos:
  • Acúmulo = entrada − saída.
Em fórmulas:
V\frac{dC}{dt}=Q\bigl(C_{\text{in}}-C(t)\bigr),
onde
  • \,V é a massa (ou volume, com densidade unitária) do fluido no tanque ( \mathrm{kg}),
  • \,C(t) é a concentração no tanque no instante t ( \text{ppm}),
  • \,C_{\text{in}} é a concentração na alimentação ( \text{ppm}),
  • \,Q é a vazão mássica de entrada/saída ( \mathrm{kg/h}).
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Reescrevendo:
\frac{dC}{dt}=-\frac{Q}{V}\bigl(C(t)-C_{\text{in}}\bigr).
A solução geral (com condição inicial C(0)=C_0) é a típica resposta exponencial de um sistema de primeira ordem:
C(t)=C_{\text{in}}+\bigl(C_0-C_{\text{in}}\bigr)\exp\!\left(-\frac{Q}{V}t\right).
Explicando didaticamente: o termo \dfrac{Q}{V} tem unidades de \mathrm{h^{-1}} e é a constante que determina a rapidez da troca (quanto maior \dfrac{Q}{V}, mais rápido o tanque se aproxima da concentração de entrada). O tempo característico (constante de tempo) é \tau=\dfrac{V}{Q}.

Passo 3

Agora aplico os números do problema. Primeiro calculo \dfrac{Q}{V}:
\frac{Q}{V}=\frac{45000}{500000}=0{,}09\\ \mathrm{h^{-1}}.
A solução com \,C_0=100\\ \text{ppm} e \,C_{\text{in}}=1500\\ \text{ppm} é:
C(t)=1500+\bigl(100-1500\bigr)\exp\!\bigl(-0{,}09\,t\bigr).
Simplificando o coeficiente:
C(t)=1500-1400\exp\!\bigl(-0{,}09\,t\bigr).
Queremos o tempo t tal que C(t)=200\\ \text{ppm}. Substituindo:
200=1500-1400\exp\!\bigl(-0{,}09\,t\bigr).

Passo 4

Resolver a equação para t. Isolando a exponencial:
200-1500=-1400\exp\!\bigl(-0{,}09\,t\bigr)
-1300=-1400\exp\!\bigl(-0{,}09\,t\bigr)
\exp\!\bigl(-0{,}09\,t\bigr)=\frac{1300}{1400}=\frac{13}{14}\approx0{,}9285714.
Tomando logaritmo natural:
-0{,}09\,t=\ln\!\left(\frac{13}{14}\right).
Portanto
t=-\frac{1}{0{,}09}\ln\!\left(\frac{13}{14}\right).
Calculo numérico de \ln(13/14): \ln\!\left(\dfrac{13}{14}\right)\approx -0{,}074108. Assim
t\approx -\frac{-0{,}074108}{0{,}09}\approx0{,}8234\\ \mathrm{h}.
Convertendo para minutos:
t\approx0{,}8234\times60\approx49{,}4\\ \text{min}.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo: em menos de uma hora (cerca de 49 minutos) o tanque, por mistura e vazão, reduzirá a concentração na descarga de 1500\\ \text{ppm} para o limite legal de 200\\ \text{ppm}. Isso mostra como um tanque perfeitamente misturado atua como amortecedor de picos de concentração — a curva de decaimento é exponencial e é controlada pela razão Q/V. Mantenha a calma na prova: derive o balanço, resolva a ODE e isole o tempo como fizemos.

Resposta

\,t\approx0{,}823\\ \text{h}\approx49{,}4\\ \text{min}

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