Um tanque de retenção está instalado num processo de tratamento de efluentes aquoso para atenuar flutuações da concentração na corrente do efluente. Normalmente a alimentação de efluente para o tanque não contem mais do que 100 ppm de acetona. A concentração máxima admissível de acetona na descarga de efluente está fixada em 200 ppm . A capacidade útil do tanque é
e pode considerar que ele está perfeitamente misturado. A vazão de efluente é
. Se a concentração da acetona na alimentação subir bruscamente para 1500 ppm , devido a um vazamento na instalação de processamento. Determine o tempo para alcançar a concentração permitida por legislação.? (2,Opts)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
- Capacidade útil do tanque:
- Vazão da corrente de efluente:
- Concentração inicial no tanque (estado normal):
(isto decorre do fato de que, normalmente, a alimentação não contém mais que e o tanque estava em regime estacionário antes do surto). - Concentração de alimentação após o vazamento (salto brusco):
- Concentração máxima admissível na descarga:
O que o enunciado pede:
- Determinar o tempo necessário para que a concentração no tanque (e, portanto, na descarga, pois o tanque é perfeitamente misturado) atinja
após a subida brusca da alimentação para
Passo 2
Qual é o modelo físico e a equação que vamos usar?
Num tanque perfeitamente misturado, a concentração no tanque é uniforme e igual à concentração de saída. Fazendo balanço de massa da substância (acetona) no tanque, temos:
Num tanque perfeitamente misturado, a concentração no tanque é uniforme e igual à concentração de saída. Fazendo balanço de massa da substância (acetona) no tanque, temos:
- Acúmulo = entrada − saída.
Em fórmulas:
onde
-
é a massa (ou volume, com densidade unitária) do fluido no tanque ( ), -
é a concentração no tanque no instante ( ), -
é a concentração na alimentação ( ), -
é a vazão mássica de entrada/saída ( ).
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Reescrevendo:
A solução geral (com condição inicial
) é a típica resposta exponencial de um sistema de primeira ordem:
Explicando didaticamente: o termo
tem unidades de
e é a constante que determina a rapidez da troca (quanto maior
, mais rápido o tanque se aproxima da concentração de entrada). O tempo característico (constante de tempo) é
.
Passo 3
Agora aplico os números do problema. Primeiro calculo
:
A solução com
e
é:
Simplificando o coeficiente:
Queremos o tempo
tal que
. Substituindo:
Passo 4
Resolver a equação para
. Isolando a exponencial:
Tomando logaritmo natural:
Portanto
Calculo numérico de
:
. Assim
Convertendo para minutos:
Passo 5
Interpretação rápida e incentivo: em menos de uma hora (cerca de 49 minutos) o tanque, por mistura e vazão, reduzirá a concentração na descarga de
para o limite legal de
. Isso mostra como um tanque perfeitamente misturado atua como amortecedor de picos de concentração — a curva de decaimento é exponencial e é controlada pela razão
. Mantenha a calma na prova: derive o balanço, resolva a ODE e isole o tempo como fizemos.