Um conjunto cilindro-pistão contém 0,5 \mathrm{~kg} de ar a 500 K e 500 kPa . O ar então se expande em um processo onde a pressão cai linearmente com o volume até que a temperatura e pressão atinjam 300 K e 100 kPa , espectivamente. Determine o volume final (em litros) do sistema. (1,5)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Massa do ar: \,m=0,5\\ \mathrm{kg}.
    • Estado inicial: \,T_1=500\\ \mathrm{K} e \,p_1=500\\ \mathrm{kPa}.
    • Estado final: \,T_2=300\\ \mathrm{K} e \,p_2=100\\ \mathrm{kPa}.
    • O processo: a pressão cai linearmente com o volume durante a expansão (isto é, p é uma função linear de V ao longo do processo).
  • O que é pedido:
    • Determinar o volume final do sistema, em litros.

Passo 2

Escolha do método e princípio físico a usar (explicação didática).
  • Para relacionar pressão, volume e temperatura de uma massa fixa de ar usaremos a lei dos gases ideais na forma apropriada para massa fixa: p\,V = m\,R\,T.Aqui:
    • p é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa}),
    • V é o volume (em \mathrm{m^3}),
    • m é a massa (em \mathrm{kg}),
    • R é a constante específica do gás (em \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}),
    • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • Para o ar seco padrão usamos a constante específica R = 287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}},que vem de R = R_u / M (constante universal dividida pela massa molar do ar). Usar esse R é comum em problemas de termodinâmica com ar.
  • Observação sobre a linearidade p(V): o enunciado diz que p varia linearmente com V, porém os estados inicial e final (valores de p e T) já são dados. Como a massa e a temperatura final e a pressão final são conhecidos, o volume final é determinado diretamente pela lei dos gases ideais; a informação de que p varia linearmente com V serve apenas para caracterizar o caminho, não é necessária para achar V_2 a partir dos dados dos estados.

Passo 3

Conversão de unidades e cálculo do volume inicial (exemplo prático e verificação).
  • Primeiro convertendo pressões para pascal (SI): p_1 = 500\\ \mathrm{kPa} = 500000\\ \mathrm{Pa}, \qquad p_2 = 100\\ \mathrm{kPa} = 100000\\ \mathrm{Pa}.
  • Aplicando a lei dos gases ideais no estado inicial para verificar/ilustrar: V_1 = \frac{m\,R\,T_1}{p_1}.Calcule passo a passo: m\,T_1 = 0,5\times500 = 250,
250\times R = 250\times287 = 71750,
V_1 = \frac{71750}{500000} = 0,1435\\ \mathrm{m^3}.
Convertendo para litros (lembrando que 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}):
V_1 = 0,1435\\ \mathrm{m^3} = 143,5\\ \mathrm{L}.
(Isso é só para checar que as contas e unidades estão consistentes.)

Passo 4

Cálculo do volume final usando a lei dos gases ideais (passo a passo, jeito que dá para fazer na prova).
  • Aplicamos a mesma fórmula no estado final: V_2 = \frac{m\,R\,T_2}{p_2}.Calcule em etapas: m\,T_2 = 0,5\times300 = 150,
150\times R = 150\times287 = 43050,
V_2 = \frac{43050}{100000} = 0,4305\\ \mathrm{m^3}.
Agora converta para litros:
V_2 = 0,4305\\ \mathrm{m^3} = 430,5\\ \mathrm{L}.

Passo 5

Verificação rápida e comentário final — e um incentivo.
  • Verificação plausível: o volume aumentou de 143,5\\ \mathrm{L} para 430,5\\ \mathrm{L} enquanto a pressão caiu de 500\\ \mathrm{kPa} para 100\\ \mathrm{kPa} e a temperatura caiu de 500\\ \mathrm{K} para 300\\ \mathrm{K}. Esses números fazem sentido fisicamente: ao expandir e esfriar, a pressão cai e o volume aumenta.
  • Lembrete prático para a prova: quando te derem massa, pressão e temperatura em um estado, sempre use pV=mRT com unidades consistentes; converta kPa para Pa e \mathrm{m^3} para litros só no fim se pedirem litros. Você fez certinho!
  • Vai dar certo — respira fundo e resolve passo a passo como fizemos aqui.

Resposta

430,5\\ \mathrm{L}

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