Um tanque rigido contém 1,5 \mathrm{~kg} de R-134a a 40^{\circ} \mathrm{C}, 500 \mathrm{kPa}. O tanque é colocado em um resfriador que leva o conjunto para -20^{\circ} \mathrm{C}.) Determine o trabalho específico e a transferência de calor específica nesse processo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados do problema: \text{massa } m = 1{,}5\\ \mathrm{kg},
T_1 = 40^\circ\mathrm{C},
p_1 = 500\\ \mathrm{kPa},
T_2 = -20^\circ\mathrm{C}.
  • O tanque é rígido (volume do sistema constante) e fechado (massa constante).
  • Perguntas pedidas:
    1. Determine o trabalho específico w do processo (por unidade de massa).
    2. Determine a transferência de calor específica q (por unidade de massa) no processo.
Observações importantes extraídas do enunciado: o tanque rígido implica processo a volume constante; o sistema é fechado (não há fluxo de massa). A resolução numérica exigirá propriedades do R-134a (p.ex. R, propriedades saturadas em -20^\circ\mathrm{C}, e propriedades no estado inicial). Vou explicitar todas as relações usadas e os valores aproximados que utilizei (quando for necessário aproximar) — na prova idealmente você consultará as tabelas de propriedades do R-134a para obter os valores exatos.

Passo 2

Conceito físico e equações que vamos usar — explicando como raciocinar na prova.
  • Primeira lei para sistema fechado (por unidade de massa):
    \Delta u = q - w,
    onde \Delta u = u_2 - u_1 é a variação da energia interna específica, q é o calor específico recebido pelo sistema (positivo se entra) e w é o trabalho específico feito pelo sistema (positivo se feito pelo sistema).
  • Trabalho de fronteira em sistema fechado:
    w = \int p\, d v.
    Se o tanque é rígido, o volume específico v é constante ( dv=0), logo
    w = 0.
    Portanto, para este problema:
    q = \Delta u = u_2 - u_1.
    Ou seja, o calor trocado por unidade de massa é simplesmente a mudança de energia interna por unidade de massa.
Na prova: identificar rigidêz do tanque → já sabemos w=0. O ponto mais trabalhoso é encontrar u_1 e u_2 usando as propriedades do fluido (R-134a).

Passo 3

Determinar o volume específico inicial \,v_1 — por que precisamos disso e como calcular.
  • Em um tanque rígido e massa m fixa, o volume específico v não muda: v_2 = v_1. Para achar o estado final precisamos conhecer v_1.
  • O estado inicial tem T_1=40^\circ\mathrm{C} e p_1=500\\ \mathrm{kPa}. Para R-134a, com p_1 menor que a pressão de saturação a 40^\circ\mathrm{C}, o estado é superaquecido (isto é, vapor sobreaquecido). Uma forma prática de obter v_1 é usar a tabela de vapor sobreaquecido a p=500\\ \mathrm{kPa}. Se não temos a tabela na mão, podemos, como aproximação razoável para vapor sobreaquecido, usar a equação do gás ideal:
    v = \frac{R\,T}{p},
    onde:
    • R é a constante específica do R-134a,
    • T é a temperatura absoluta em kelvin,
    • p é a pressão absoluta.
  • Valor da constante específica do R-134a:
    R = \frac{R_u}{M} \approx 81{,}45\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} = 0{,}08145\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    (a massa molar do R-134a é \approx 0{,}10203\\ \mathrm{kg/mol}; aqui usei o valor já convertido para obter R.)
  • Converter temperaturas:
    T_1 = 40^\circ\mathrm{C} = 313{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular v_1 (usando p_1 em \mathrm{kPa} e R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} v em \mathrm{m^3/kg}):
    v_1=\frac{R\,T_1}{p_1}=\frac{0{,}08145\cdot 313{,}15}{500}=0{,}05102\\ \mathrm{m^3/kg}.
Comentário didático: em muitos exames você teria a tabela de vapor sobreaquecido e leria diretamente v_1. A aproximação do gás ideal é frequentemente aceitável para vapor sobreaquecido moderado; aqui ela nos dá um valor razoável para v_1.

Passo 4

Determinar a natureza do estado final ( T_2=-20^\circ\mathrm{C}) mantendo v=v_1.
  • O tanque é resfriado até T_2=-20^\circ\mathrm{C}. Como v_2=v_1, para saber se o fluido ao final é vapor saturado, líquido comprimido ou mistura, comparamos v_1 com os volumes específicos saturados à temperatura T_2: v_f(T_2) (volume específico do líquido saturado) e v_g(T_2) (do vapor saturado).
  • Em geral v_f é muito pequeno (ordem de 10^{-3} a 10^{-4} m^3/kg) e v_g é bem maior. Se v_f < v_1 < v_g então o estado final é mistura saturada (qualidade x entre 0 e 1).
  • Vamos estimar v_g(T_2). Precisamos da pressão de saturação à -20^\circ\mathrm{C}, p_\mathrm{sat}(T_2). Uma tabela de R-134a dá esse valor — como aproximação, tomo
    p_\mathrm{sat}(-20^\circ\mathrm{C}) \approx 164\\ \mathrm{kPa}.
    (Na prova: consulte a tabela de saturação e use o valor exato.)
  • Usando a equação do gás ideal para o vapor saturado aproximado:
    v_g \approx \frac{R\,T_2}{p_\mathrm{sat}},
    com T_2=-20^\circ\mathrm{C}=253{,}15\\ \mathrm{K}.
    v_g \approx \frac{0{,}08145\cdot 253{,}15}{164}=0{,}1258\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Comparando com v_1=0{,}05102\\ \mathrm{m^3/kg}:
    v_f(-20^\circ\mathrm{C}) \ll v_1 < v_g(-20^\circ\mathrm{C}).
    Logo o estado final é uma mistura saturada (parte líquido, parte vapor).
  • A qualidade (fração mássica de vapor) no final é dada por
    x_2=\frac{v_2-v_f}{v_g-v_f}\approx\frac{v_1}{v_g}\quad(\text{pois }v_f\text{ é desprezível}),éí
    então
    x_2\approx\frac{0{,}05102}{0{,}1258}=0{,}4058\\ (\text{ou }40{,}6\%).
Dica de prova: sempre verifique em que região (comprimido, líquido saturado, vapor saturado, mistura, sobreaquecido) o estado final fica. Aqui ficou mistura — então usaremos propriedades saturadas à -20^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular as energias internas específicas u_1 e u_2.
  • Para u_1 (vapor sobreaquecido a p_1=500\\ \mathrm{kPa}, T_1=40^\circ\mathrm{C}): uma forma prática (e razoável) é usar a aproximação do gás ideal para relacionar u e T:
    u \approx c_v\,T,
    onde c_v é o calor específico a volume constante do vapor. Podemos obter c_v como c_v=c_p-R. Vou usar um valor típico aproximado para R-134a vapor:
    c_p \approx 0{,}95\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \quad\Rightarrow\quad c_v=c_p-R\approx 0{,}95-0{,}08145=0{,}8686\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    Então
    u_1 \approx c_v\,T_1 = 0{,}8686\cdot 313{,}15 = 272{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
    (Na prova: se você tiver a tabela sobreaquecida, leia u_1 diretamente.)
  • Para u_2 (mistura saturada a -20^\circ\mathrm{C} com qualidade x_2):
    u_2 = u_f(T_2) + x_2\,u_{fg}(T_2),
    onde u_f é a energia interna do líquido saturado e u_{fg}=u_g-u_f é a diferença líquido-vapor. Precisamos de u_f e u_g na tabela de saturação a -20^\circ\mathrm{C}.
    Se usarmos aproximação ideal para o vapor saturado,
    u_g \approx c_v\,T_2 = 0{,}8686\cdot 253{,}15 = 219{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
    Para o líquido saturado u_f precisamos da tabela; uma estimativa típica para R-134a a -20^\circ\mathrm{C} é:
    u_f(-20^\circ\mathrm{C}) \approx 45{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}
    (na prova consulte a tabela — aqui eu uso 45{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} como valor representativo).
    Então
    u_{fg}=u_g-u_f \approx 219{,}9-45{,}0=174{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
    Com x_2=0{,}4058:
    u_2 \approx 45{,}0 + 0{,}4058\cdot 174{,}9 = 45{,}0 + 70{,}92 = 115{,}92\\ \mathrm{kJ/kg}.
Comentário: se você tiver a tabela de saturação, use os valores exatos de u_f e u_g; aqui usei aproximações consistentes para demonstrar o método.

Passo 6

Calcular q (transferência de calor específica) e o trabalho específico w.
  • Já sabemos por passo 2 que o trabalho específico é zero:
    w = 0\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Usando q = u_2 - u_1:
    q = 115{,}92 - 272{,}0 = -156{,}08\\ \mathrm{kJ/kg}.
    O sinal negativo indica que, no processo, o sistema perdeu calor (esperado: foi resfriado no resfriador).
  • Se quisermos a transferência de calor total para a massa m=1{,}5\\ \mathrm{kg}:
    Q = m\,q = 1{,}5\cdot (-156{,}08) = -234{,}12\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Resumo das suposições / observações finais e dica de prova.
  • Supondo as aproximações feitas (uso da equação do gás ideal para vapor sobreaquecido e valores aproximados de p_\mathrm{sat}(-20^\circ\mathrm{C}) e de u_f), chegamos aos valores acima.
  • Em prova: se lhe derem tabelas do R-134a, substitua os valores aproximados por:
    • v_1 lido na tabela sobreaquecido a p=500\\ \mathrm{kPa}, T=40^\circ\mathrm{C};
    • u_1 lido na tabela sobreaquecido;
    • u_f(-20^\circ\mathrm{C}) e u_g(-20^\circ\mathrm{C}) lidos na tabela de saturação e calcule u_2 por mistura.
  • O raciocínio (rigidez → w=0; q=\Delta u; determinar v_1; comparar com v_g e v_f à T_2 para achar a qualidade) é o mais importante — os números finos saem das tabelas.

Resposta

w=0\\ \mathrm{kJ/kg}
q\approx -156{,}1\\ \mathrm{kJ/kg} (portanto Q\approx -234{,}1\\ \mathrm{kJ} para 1{,}5\\ \mathrm{kg}).

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