Um tanque rígido cujo volume é de 0,5 m^3 encontra-se inicialmente evacuado. Um orifício na parede se desenvolve devido à ferrugem e o ar da vizinhança a 1 bar e 21^circ C, é admitido até que a pressão no tanque atinja 1 bar. A transferência de calor entre o ar no tanque e suas vizinhanças é desprezível. Determine a temperatura final no interior do tanque em ^circ C.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um tanque de volume fixo (0,5 m³) inicialmente vazio (vácuo). Abrimos um orifício e deixamos entrar ar ambiente a 1 bar e 21 °C até que a pressão do tanque chegue a 1 bar. Não há troca de calor com o meio (adiabático) e nem trabalho de fronteira (tanque rígido).
Conteúdo: Primeira Lei da Termodinâmica para volume de controle com fluxo de massa (energia que entra pelo fluxo = aumento de energia interna no tanque). Vamos usar também propriedades do gás ideal (relação entre , , , e ).

Passo 2

Teoria da Primeira Lei para volume de controle com fluxo:
dot mrm in,hrm in ;=; dUrm CVdt ;+; dot Q ;+; dot W
Como não há calor ( dot mrm in,hrm in ;=; dUrm CVdt ), nem trabalho de borda ( ) e desprezamos energia cinética/potencial, ficamos com

Passo 3

Integramos no tempo desde o início (massa inicial zero) até o estado final:
integral0^tf dot mrm in,hrm in,dt ;=; integral0^tf dUrm CV Longrightarrow mf,hrm in ;=; Uf - U0
Como mf,hrm in ;=; mf,uf Longrightarrow uf ;=; hrm in (vácuo) e , dá

Passo 4

Agora usamos propriedades do gás ideal:
  • uf = hrm in Longrightarrow cv,Tf = cp,T0

  • No injeto, a temperatura é a do ambiente . Então

Passo 5

Isolando Tf ;=;cpcv;T0 ;=;gamma,T0, :
onde . Para o ar, tipicamente e .

Passo 6

Cálculo numérico:
Tf = 1,4 times 294: K = 411,6: K
Em graus Celsius:
Tf = 411,6 - 273,15 = 138,45;^circ C

Resposta

A temperatura final no interior do tanque é aproximadamente .

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