A temperatura dos 10-15 \mathrm{~km} mais baixos da atmosfera, região chamada de troposfera, decresce com o aumento da altitude por causa do efeito de aquecimento das camadas mais baixas devido ao solo, que aquecido pela absorção da radiação solar. Se o gradiente de temperatura \left|\frac{d T}{d z}\right| exceder um certo valor crítico começa a ocorrer o fenômeno da convecção. A) Mostre que em uma expansão adiabática de um gás ideal, a pressão e a temperatura ficam relacionada pela equação diferencial:

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre, para uma expansão adiabática de um gás ideal, uma relação diferencial entre pressão e temperatura. Informações e condições dadas (ou que usarei):
  • o processo é adiabático (não há troca de calor: dQ=0);
  • o gás obedece a equação dos gases ideais \,P V = R T\,, onde:
    • P é a pressão,
    • V é o volume específico (volume por unidade de massa) ou volume molar — aqui basta usar volume genérico consistente,
    • T é a temperatura absoluta,
    • R é a constante específica do gás (constante universal dividida pela massa molar);
  • definimos as capacidades térmicas molares/espécíficas c_v e c_p e o coeficiente adiabático \gamma por \gamma=\dfrac{c_p}{c_v};
  • Objetivo explícito: obter uma equação diferencial relacionando dT e dP (ou \dfrac{dT}{T} e \dfrac{dP}{P}) válida no processo adiabático.

Passo 2

Vou começar pela primeira lei da termodinâmica para processo reversível e adiabático. A primeira lei, em forma infinitesimal, diz
dQ = dU + P\,dV.
Como o processo é adiabático, dQ=0, logo
dU + P\,dV=0.
Para um gás ideal monoatômico ou poliatômico, a variação da energia interna depende só da temperatura, e escrevemos
dU = c_v\,dT,
onde c_v é a capacidade térmica a volume constante (por unidade de massa ou por mol — basta manter consistência). Substituindo em dU + P\,dV=0 obtemos
c_v\,dT + P\,dV = 0.
Essa equação expressa, em palavras: numa expansão adiabática, a perda de energia interna (proporcional a dT) é compensada pelo trabalho P\,dV.

Passo 3

Agora uso a equação dos gases ideais para eliminar P ou V. Da equação dos gases ideais:
P V = R T \quad\Rightarrow\quad P = \frac{R T}{V}.
Substituindo esse P em c_v\,dT + P\,dV = 0
c_v\,dT + \frac{R T}{V}\,dV = 0.
Divido a equação por T (assumindo T>0) para obter formas logarítmicas:
c_v\frac{dT}{T} + R\frac{dV}{V} = 0.
Agora uso a relação entre R, c_v e \gamma. Lembrando que c_p = c_v + R e \gamma = \dfrac{c_p}{c_v}, temos
\frac{R}{c_v} = \gamma - 1.
Dividindo a equação anterior por c_v resulta
\frac{dT}{T} + \frac{R}{c_v}\frac{dV}{V} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{T} + (\gamma-1)\frac{dV}{V} = 0.
Integrando essa relação dá a lei adiabática na forma
T\,V^{\gamma-1}=\text{constante},
mas aqui precisamos de uma relação entre T e P, então prossigo substituindo V em função de P e T ou fazendo diferenciação logarítmica de uma forma equivalente.

Passo 4

Vou obter diretamente a relação diferencial entre dT e dP. Parto da lei adiabática equivalente
P\,V^{\gamma}=\text{constante}.
Substituo V da equação dos gases ideais V=\dfrac{R T}{P} nessa expressão para eliminar V. Fazendo isso:
P\left(\frac{R T}{P}\right)^{\gamma}=\text{constante} \quad\Rightarrow\quad P^{1-\gamma} T^{\gamma} R^{\gamma}=\text{constante}.
Como R^{\gamma} é constante, posso escrever
T^{\gamma} P^{1-\gamma}=\text{constante}.
Agora aplico diferenciação logarítmica nessa igualdade (ou seja, tomo diferencial dos logaritmos). Tomando diferencial:
\gamma\frac{dT}{T} + (1-\gamma)\frac{dP}{P} = 0.
Essa é uma equação diferencial que relaciona variações relativas de T e P no processo adiabático.

Passo 5

Isolo \dfrac{dT}{T} para obter a forma desejada:
\gamma\frac{dT}{T} = (\gamma-1)\frac{dP}{P} \quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{T} = \frac{\gamma-1}{\gamma}\,\frac{dP}{P}.
Esta é a relação diferencial entre temperatura e pressão numa expansão (ou compressão) adiabática de um gás ideal. Em palavras: a variação relativa da temperatura é proporcional à variação relativa da pressão, com fator \dfrac{\gamma-1}{\gamma}.

Resposta

\frac{dT}{T} = \frac{\gamma-1}{\gamma}\,\frac{dP}{P}

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