A aplicação das leis de Newton, as oscilações de um meio contínuo mostram que a velocidade das ondas neste meio é dada por:
Onde
é a densidade do meio e
é seu módulo de compressão volumétrico. Mais precisamente, se imaginarmos a aplicação de um aumento de pressão
a uma amostra do material e se este aumento resultar numa variação (negativa) de seu volume
Passo 1
O enunciado nos dá a relação
onde
é a densidade do meio e
é o módulo de compressão volumétrico. O texto menciona um aumento de pressão
que causa uma variação (negativa) de volume
.
O que vamos fazer: mostrar detalhadamente por que a velocidade de uma pequena perturbação (onda sonora linear) no meio é dada por , partindo da definição do módulo
em termos de
e
e usando as equações de conservação linearizadas. Vou listar claramente as informações úteis que temos:
O que vamos fazer: mostrar detalhadamente por que a velocidade de uma pequena perturbação (onda sonora linear) no meio é dada por
- Há um aumento de pressão
aplicado ao corpo, que produz uma variação de volume . -
é o módulo de compressão volumétrico (relaciona e ). -
é a densidade de massa do meio, assumida uniforme no estado de equilíbrio ( ).
O objetivo da resolução é derivar a fórmulae explicar cada passo de forma bem didática.
Passo 2
Definição física e matemática do módulo de compressão volumétrico
.
O módulo mede a resistência do meio à variação volumétrica e é definido por
O módulo
no limite de pequenas variações (ou, em diferencial),
Explicação do sinal: ao aumentar a pressão (
) o volume diminui (
), daí o sinal menos para que
. Em palavras:
é a razão entre aumento de pressão e redução relativa do volume multiplicada por
.
Passo 3
Relação entre variação de volume e variação de densidade (conservação de massa).
A massa de uma amostra é
e permanece constante (para uma parcela do meio que acompanha a perturbação). Diferenciando
const resulta, para pequenas variações,
A massa
Dividindo por
obtemos
Portanto
Isso é intuitivo: quando o volume diminui (compressão), a densidade aumenta.
Passo 4
Expressar
em função de
usando a definição de
.
Partindo de e substituindo
(do passo anterior) obtemos
Partindo de
Usando
segue
Para pequenas perturbações contínuas escrevemos isso na forma diferencial/linearizada:
Interpretação: uma pequena variação de densidade
provoca uma variação de pressão
proporcional, com coeficiente
. Esse é o “meta-material” que conecta pressão e densidade em perturbações sonoras lineares.
Passo 5
Equações fundamentais para pequenas perturbações (continuidade e Euler) — escrita e linearização.
Consideremos variáveis dependentes de : velocidade de partícula
, densidade
e pressão
, com primos denotando pequenas perturbações. As equações gerais em 1D são:
Consideremos variáveis dependentes de
- Equação da continuidade (conservação de massa)
Para pequenas perturbações e desprezando termos não lineares (
pequeno) linearizamos:
- Equação de movimento (Euler, conservação de quantidade de movimento sem viscosidade)
Linearizando e mantendo só termos de primeira ordem:
Essas duas equações relacionam
,
e
.
Passo 6
Derivação da equação de onda e identificação da velocidade.
A estratégia é eliminar e obter uma equação só para
(ou para
). Primeiro derivamos a equação de continuidade em relação ao tempo:
A estratégia é eliminar
Agora usamos a equação linearizada de Euler para substituir
. Da equação de Euler:
Derivando em
e substituindo:
Agora usamos a relação de estado linearizada do passo 4, que escreve
em função de
:
Chamando
, substituímos
na equação acima:
Se
é constante (meio homogêneo), isso dá a equação de onda clássica
onde
é a velocidade de propagação das pequenas perturbações.
Passo 7
Conectar
com
e
.
Do passo 4 temos em diferencial
Do passo 4 temos em diferencial
Portanto, avaliando no estado de equilíbrio
,
Tomando raiz positiva (velocidade positiva),
Isso coincide exatamente com a fórmula do enunciado. Em palavras: a velocidade da onda é a raiz quadrada da razão entre a “rigidez volumétrica”
(quanto de pressão se opõe à compressão) e a densidade de massa
(quanto de inércia existe por volume).
Passo 8
Exemplos e comentários finais (intuição e caso do gás ideal).
- Intuição: se
aumenta (meio mais rígido), aumenta — a onda viaja mais rápido. Se aumenta (mais inércia por volume), diminui. - Caso de um gás ideal: para compressões rápidas e adiabáticas vale
(onde é a razão de capacidades térmicas). Então
Usando
(ou
, dependendo da forma), recupera-se a fórmula clássica
(ou
quando se usa constante dos gases universal
e massa molar
). Esse é o caso usual do som em gases.