A aplicação das leis de Newton, as oscilações de um meio contínuo mostram que a velocidade das ondas neste meio é dada por:
c_{z}=\sqrt{\frac{K}{\rho}}
Onde \rho é a densidade do meio e K é seu módulo de compressão volumétrico. Mais precisamente, se imaginarmos a aplicação de um aumento de pressão \Delta P a uma amostra do material e se este aumento resultar numa variação (negativa) de seu volume \Delta V

Passo 1

O enunciado nos dá a relação
c_{z}=\sqrt{\frac{K}{\rho}}
onde \rho é a densidade do meio e K é o módulo de compressão volumétrico. O texto menciona um aumento de pressão \Delta P que causa uma variação (negativa) de volume \Delta V.
O que vamos fazer: mostrar detalhadamente por que a velocidade de uma pequena perturbação (onda sonora linear) no meio é dada por c_{z}=\sqrt{K/\rho}, partindo da definição do módulo K em termos de \Delta P e \Delta V e usando as equações de conservação linearizadas. Vou listar claramente as informações úteis que temos:
  • Há um aumento de pressão \Delta P aplicado ao corpo, que produz uma variação de volume \Delta V.
  • K é o módulo de compressão volumétrico (relaciona \Delta P e \Delta V).
  • \rho é a densidade de massa do meio, assumida uniforme no estado de equilíbrio ( \rho_0).
    O objetivo da resolução é derivar a fórmula c_{z}=\sqrt{K/\rho} e explicar cada passo de forma bem didática.

Passo 2

Definição física e matemática do módulo de compressão volumétrico K.
O módulo K mede a resistência do meio à variação volumétrica e é definido por
K = -V \frac{\Delta P}{\Delta V},
no limite de pequenas variações (ou, em diferencial),
K = -V \frac{dP}{dV}.
Explicação do sinal: ao aumentar a pressão ( \Delta P>0) o volume diminui ( \Delta V<0), daí o sinal menos para que K>0. Em palavras: K é a razão entre aumento de pressão e redução relativa do volume multiplicada por V.

Passo 3

Relação entre variação de volume e variação de densidade (conservação de massa).
A massa m de uma amostra é m=\rho V e permanece constante (para uma parcela do meio que acompanha a perturbação). Diferenciando m=\rho V= const resulta, para pequenas variações,
\Delta(\rho V)=0 \quad\Rightarrow\quad \rho\,\Delta V + V\,\Delta \rho = 0.
Dividindo por \rho V obtemos
\frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.
Portanto
\frac{\Delta V}{V} = -\frac{\Delta \rho}{\rho}.
Isso é intuitivo: quando o volume diminui (compressão), a densidade aumenta.

Passo 4

Expressar \Delta P em função de \Delta \rho usando a definição de K.
Partindo de K=-V\,\dfrac{\Delta P}{\Delta V} e substituindo \dfrac{\Delta V}{V}=-\dfrac{\Delta \rho}{\rho} (do passo anterior) obtemos
K = -V\frac{\Delta P}{\Delta V} \quad\Rightarrow\quad \Delta P = -K\frac{\Delta V}{V}.
Usando \dfrac{\Delta V}{V}=-\dfrac{\Delta \rho}{\rho} segue
\Delta P = K \frac{\Delta \rho}{\rho}.
Para pequenas perturbações contínuas escrevemos isso na forma diferencial/linearizada:
dp = \frac{K}{\rho}\,d\rho.
Interpretação: uma pequena variação de densidade d\rho provoca uma variação de pressão dp proporcional, com coeficiente K/\rho. Esse é o “meta-material” que conecta pressão e densidade em perturbações sonoras lineares.

Passo 5

Equações fundamentais para pequenas perturbações (continuidade e Euler) — escrita e linearização.
Consideremos variáveis dependentes de x,t: velocidade de partícula u(x,t), densidade \rho(x,t)=\rho_0+\rho'(x,t) e pressão P(x,t)=P_0+p'(x,t), com primos denotando pequenas perturbações. As equações gerais em 1D são:
  1. Equação da continuidade (conservação de massa)
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\rho u) = 0.
Para pequenas perturbações e desprezando termos não lineares ( \rho' u pequeno) linearizamos:
\frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial u}{\partial x} = 0.
  1. Equação de movimento (Euler, conservação de quantidade de movimento sem viscosidade)
\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x}\right) = -\frac{\partial P}{\partial x}.
Linearizando e mantendo só termos de primeira ordem:
\rho_0 \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial p'}{\partial x}.
Essas duas equações relacionam \rho', u e p'.

Passo 6

Derivação da equação de onda e identificação da velocidade.
A estratégia é eliminar u e obter uma equação só para p' (ou para \rho'). Primeiro derivamos a equação de continuidade em relação ao tempo:
\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} + \rho_0 \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial t} = 0.
Agora usamos a equação linearizada de Euler para substituir \partial u/\partial t. Da equação de Euler:
\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial x}.
Derivando em x e substituindo:
\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} + \rho_0 \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 p'}{\partial x^2} = 0.
Agora usamos a relação de estado linearizada do passo 4, que escreve p' em função de \rho':
p' = \left(\frac{dP}{d\rho}\right)_{\rho_0}\rho'.
Chamando \displaystyle c^2 \equiv \left(\frac{dP}{d\rho}\right)_{\rho_0}, substituímos p' = c^2 \rho' na equação acima:
\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2}(c^2 \rho') = 0.
Se c é constante (meio homogêneo), isso dá a equação de onda clássica
\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 \rho'}{\partial x^2} = 0,
onde c é a velocidade de propagação das pequenas perturbações.

Passo 7

Conectar c^2 com K e \rho.
Do passo 4 temos em diferencial
\frac{dp}{d\rho} = \frac{K}{\rho}.
Portanto, avaliando no estado de equilíbrio \rho=\rho_0,
c^2 = \left(\frac{dP}{d\rho}\right)_{\rho_0} = \frac{K}{\rho_0}.
Tomando raiz positiva (velocidade positiva),
c = \sqrt{\frac{K}{\rho_0}}.
Isso coincide exatamente com a fórmula do enunciado. Em palavras: a velocidade da onda é a raiz quadrada da razão entre a “rigidez volumétrica” K (quanto de pressão se opõe à compressão) e a densidade de massa \rho_0 (quanto de inércia existe por volume).

Passo 8

Exemplos e comentários finais (intuição e caso do gás ideal).
  • Intuição: se K aumenta (meio mais rígido), c aumenta — a onda viaja mais rápido. Se \rho aumenta (mais inércia por volume), c diminui.
  • Caso de um gás ideal: para compressões rápidas e adiabáticas vale K=\gamma P (onde \gamma é a razão de capacidades térmicas). Então
c = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}.
Usando P=\rho R_{\text{espec}}\!T (ou P=\rho \tfrac{R}{M}T, dependendo da forma), recupera-se a fórmula clássica
c = \sqrt{\gamma R_{\text{espec}} T}
(ou c=\sqrt{\dfrac{\gamma R T}{M}} quando se usa constante dos gases universal R e massa molar M). Esse é o caso usual do som em gases.

Resposta

c_{z}=\sqrt{\frac{K}{\rho}}

Exercícios relacionados