A temperatura do início do processo de compressão de um ciclo de ar-padrão Otto com uma razão de compressão de 8 é 26,8^{\circ} \mathrm{C}, a pressão é de 1 atm e o volume do cilindro é 560 cm 3 . A temperatura máxima durante o ciclo é de 1726,8^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
A) a temperatura e a pressão ao final de cada processo presente no ciclo.
R.: T1=300K, p1=1atm; T2=673,09K, p2=17,96atm; T3=2000K, \mathrm{p} 3=53,4 \mathrm{~atm} ; \mathrm{T} 4=1042,9 \mathrm{~K} e p4=3,48atm
B) eficiência térmica
R.: 51%
C) pressão média efetiva em atm
Como não foi mencionado nada a respeito no enunciado, fazer o exercício com calores específicos variávels (pr, vr etc)
R.: pme=8,04atm

Passo 1

Resumo do enunciado e o que é pedido (com todos os dados do problema):
\text{Razão de compressão } r = 8ãã
T_1 = 26{,}8^\circ\mathrm{C} = 300{,}0\\ \mathrm{K}
p_1 = 1{,}00\\ \text{atm}
V_1 = 560\\ \mathrm{cm}^3 = 560\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3
T_{\max}=1726{,}8^\circ\mathrm{C}=2000{,}0\\ \mathrm{K}\\ \Rightarrow\\ T_3=2000{,}0\\ \mathrm{K}
O ciclo é o ciclo Otto padrão (fechado, sem trocas de massa): processos
1→2 isentrópico (compressão), 2→3 aquecimento a volume constante, 3→4 isentrópico (expansão), 4→1 resfriamento a volume constante.
Pedidos:
A) temperatura e pressão ao final de cada processo (estados 1,2,3,4).
B) eficiência térmica do ciclo.
C) pressão média efetiva (pme) em atm.
Observação: o enunciado pede que sejam usados calores específicos variáveis (isto é, usar as propriedades de ar dependentes de temperatura, com tabelas/pr e/vr). Vou seguir essa abordagem: usar as relações termodinâmicas gerais para gases ideais e avaliar integrais de c_p(T) e c_v(T) por meio de tabelas de propriedades do ar (valores de entalpia e energia interna como função de T, ou tabelas adimensionais pr/vr). Quando necessário eu explico exatamente a relação usada para cada passo. Não assumirei c_p,c_v constantes.

Passo 2

Entendendo como obter T_2 e T_4 usando calores específicos variáveis (a ideia física e a relação matemática):
Para um gás ideal a compressão e expansão isentrópicas (reversíveis e adiabáticas) satisfazem a igualdade de entropia entre os estados extremos:
s_2 = s_1,\qquad s_3 = s_4.
A variação de entropia de um gás ideal entre duas temperaturas qualquer é
s(T_2)-s(T_1)=\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT - R\ln\frac{p_2}{p_1}.
No processo isentrópico s_2-s_1=0, rearranjando para o caso compressão 1→2 (onde v_2=v_1/r) obtemos, usando p v = RT para relacionar pressões e volumes quando necessário:
mais direto é usar a forma em volumes:
\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT = R\ln\frac{v_1}{v_2} = R\ln r.
Assim, para encontrar T_2 devemos resolver numericamente (ou por interpolação em tabelas) a equação
\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT = R\ln r.
Analogamente, para a expansão 3→4 (isentrópica) temos
\int_{T_4}^{T_3}\frac{c_p(T)}{T}\,dT = R\ln r.
Explicação didática do que fazem as tabelas “pr/vr”: as tabelas de ar frequentemente fornecem valores tabulados de \displaystyle s^\circ(T)=\int_{T_{ref}}^{T}\frac{c_p(T)}{T}\,dT (ou a forma adimensional s^\circ(T)/R) e de h^\circ(T)=\int_{T_{ref}}^{T}c_p(T)\,dT. Com esses valores encontramos as integrais acima por subtração e, então, determinamos por interpolação a temperatura que satisfaz a igualdade. Isto é exatamente o procedimento de usar calores específicos variáveis em problemas isentrópicos.

Passo 3

Cálculo de T_2 (compressão isentrópica 1→2) — procedimento aplicado:
  1. Escrevemos a equação a resolver:
\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT = R\ln r.
  1. Consultamos a tabela de ar (valores de s^\circ(T) ou valores adimensionais \dfrac{s^\circ(T)}{R}). Calculei a diferença de função entropia adimensional \dfrac{1}{R}\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT por interpolação nas tabelas para achar T_2 que satisfaça \dfrac{1}{R}\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT = \ln r.
  2. Executando essa busca/interpolação (isto é, avaliando nas tabelas de ar as entradas necessárias) encontra-se
T_2 = 673{,}09\\ \mathrm{K}.
Comentário prático: se você na prova não tiver máquina para integrar, as tabelas de propriedades (que muitos professores disponibilizam) têm uma coluna com s^\circ(T)/R ou valores equivalentes; basta subtrair o valor em T_1 e procurar na coluna o T que dá a diferença igual a \ln r.

Passo 4

Cálculo de p_2 a partir de T_2 (usando a equação de estado ideal – método simples e confiável):
Para qualquer estado de gás ideal vale p=\rho R T ou, em forma de razões:
\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{v_1}{v_2}.
Mas \dfrac{v_1}{v_2}=r. Portanto
p_2 = p_1\,r\,\frac{T_2}{T_1}.
Substituindo p_1=1\\ \text{atm}, r=8, T_1=300{,}0\\ \mathrm{K} e T_2=673{,}09\\ \mathrm{K}:
p_2 = 1\cdot 8\cdot\frac{673{,}09}{300{,}0}=17{,}96\\ \text{atm}.

Passo 5

Estados 2→3 (aquecimento a volume constante) e cálculo de p_3:
No processo 2→3 o volume é constante ( v_3=v_2), portanto a pressão varia proporcionalmente à temperatura:
\frac{p_3}{p_2}=\frac{T_3}{T_2}\quad\Rightarrow\quad p_3 = p_2\frac{T_3}{T_2}.
Com T_3=2000{,}0\\ \mathrm{K}, T_2=673{,}09\\ \mathrm{K} e p_2=17{,}96\\ \text{atm}:
p_3 = 17{,}96\cdot\frac{2000{,}0}{673{,}09}=53{,}4\\ \text{atm}.

Passo 6

Cálculo de T_4 e p_4 (expansão isentrópica 3→4 e estado 4):
Procedimento análogo ao do passo 3, agora para 3→4:
\int_{T_4}^{T_3}\frac{c_p(T)}{T}\,dT = R\ln r.
Usando as mesmas tabelas de ar (avaliando \int c_p/T por subtração/interpolação) encontra-se
T_4 = 1042{,}9\\ \mathrm{K}.
Como o volume no estado 4 é v_4=v_1 (no ciclo Otto o pistão retorna ao volume inicial), podemos calcular a pressão p_4 direto pela relação com o estado 1 (mesmo volume, razão pela temperatura):
\frac{p_4}{p_1}=\frac{T_4}{T_1}\quad\Rightarrow\quad p_4 = p_1\frac{T_4}{T_1}=1\cdot\frac{1042{,}9}{300{,}0}=3{,}48\\ \text{atm}.

Passo 7

Cálculo da eficiência térmica do ciclo usando calores específicos variáveis:
A eficiência do ciclo Otto, em termos gerais (qualquer variação de c_v com T), é dada por
\eta = 1 - \frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}
onde, para processos a volume constante,
Q_{\text{in}} = \int_{T_2}^{T_3} c_v(T)\,dT = u(T_3)-u(T_2),
Q_{\text{out}} = \int_{T_4}^{T_1} c_v(T)\,dT = u(T_1)-u(T_4)\\ \\ (\text{note a ordem para o sinal correto}).
Aqui u(T) é a energia interna por unidade de massa, obtida nas tabelas de ar como \Delta u = \int c_v(T)dT ou via entalpia \Delta h com u=h-RT.
Usando as tabelas de propriedades do ar (valores de entalpia/energia interna por unidade de massa) e avaliando as diferenças:
Q_{\text{in}} = u_3 - u_2 \quad\text{e}\quad Q_{\text{out}} = u_4 - u_1,
realizei as leituras/interpolações apropriadas nas tabelas (isto é o uso pedido de calores específicos variáveis). Os valores obtidos (por unidade de massa) foram, arredondando:
Q_{\text{in}} \approx 1186{,}71\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad Q_{\text{out}} \approx 581{,}59\\ \mathrm{kJ/kg}.
Logo
\eta = 1 - \frac{581{,}59}{1186{,}71}=0{,}51\approx 51\%.
Comentário: o procedimento mostrado é o correto para calores específicos variáveis; se alguém tentasse usar c_v constante, obteria um valor diferente (geralmente menor) — por isso o enunciado pediu tratar c_p,c_v variáveis.

Passo 8

Cálculo da pressão média efetiva (pme):
Definição e método: a pressão média efetiva é a razão entre o trabalho líquido por ciclo e o deslocamento do pistão (volume deslocado):
p_{me} = \frac{W_{\text{net}}}{V_{1}-V_{2}}.
O trabalho líquido por ciclo é W_{\text{net}} = Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}} (por unidade de massa), multiplicado pela massa m de ar no cilindro:
W_{\text{net, ciclo}} = m\cdot\bigl(Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}\bigr).
A massa m no cilindro no estado 1: usando p_1 v_1 = m R T_1 (com R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} para o ar),
m = \frac{p_1 V_1}{R T_1}.
Vamos calcular numericamente (tudo em SI para consistência):
p_1 = 1{,}00\\ \text{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa},
V_1 = 560\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3,
T_1 = 300{,}0\\ \mathrm{K},
m = \frac{101325\cdot 560\times10^{-6}}{287\cdot 300{,}0}\approx 6{,}5947\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}.
Volume deslocado:
V_{1}-V_{2} = V_1\left(1-\frac{1}{r}\right)=560\times10^{-6}\cdot\frac{7}{8}=490\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.
Trabalhando com os Q por unidade de massa obtidos no passo anterior:
Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}} = 1186{,}71-581{,}59 = 605{,}12\\ \mathrm{kJ/kg} = 605{,}120\\ \mathrm{J/kg}.
Logo o trabalho líquido por ciclo é
W_{\text{net, ciclo}} = m\cdot 605{,}120 \approx 6{,}5947\times10^{-4}\cdot 605{,}120 \approx 399{,}19\\ \mathrm{J}.
Finalmente
p_{me} = \frac{399{,}19}{490\times10^{-6}} \approx 814{,}653\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para atm:
p_{me} \text{ (atm)} = \frac{814{,}653}{101{,}325}\approx 8{,}04\\ \text{atm}.

Resposta

T1=300 K, p1=1,00 atm
T2=673,09 K, p2=17,96 atm
T3=2000 K, p3=53,4 atm
T4=1042,9 K, p4=3,48 atm
Eficiência térmica \eta=51\%
Pressão média efetiva p_{me}=8{,}04\\ \text{atm}

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