A temperatura do início do processo de compressão de um ciclo de ar-padrão Otto com uma razão de compressão de 8 é
, a pressão é de 1 atm e o volume do cilindro é 560 cm 3 . A temperatura máxima durante o ciclo é de
. Determine:
A) a temperatura e a pressão ao final de cada processo presente no ciclo.
R.: T1=300K, p1=1atm; T2=673,09K, p2=17,96atm; T3=2000K,
e p4=3,48atm
B) eficiência térmica
R.: 51%
C) pressão média efetiva em atm
Como não foi mencionado nada a respeito no enunciado, fazer o exercício com calores específicos variávels (pr, vr etc)
R.: pme=8,04atm
A) a temperatura e a pressão ao final de cada processo presente no ciclo.
R.: T1=300K, p1=1atm; T2=673,09K, p2=17,96atm; T3=2000K,
B) eficiência térmica
R.: 51%
C) pressão média efetiva em atm
R.: pme=8,04atm
Passo 1
Resumo do enunciado e o que é pedido (com todos os dados do problema):
O ciclo é o ciclo Otto padrão (fechado, sem trocas de massa): processos
1→2 isentrópico (compressão), 2→3 aquecimento a volume constante, 3→4 isentrópico (expansão), 4→1 resfriamento a volume constante.
Pedidos:
A) temperatura e pressão ao final de cada processo (estados 1,2,3,4).
B) eficiência térmica do ciclo.
C) pressão média efetiva (pme) em atm.
1→2 isentrópico (compressão), 2→3 aquecimento a volume constante, 3→4 isentrópico (expansão), 4→1 resfriamento a volume constante.
Pedidos:
A) temperatura e pressão ao final de cada processo (estados 1,2,3,4).
B) eficiência térmica do ciclo.
C) pressão média efetiva (pme) em atm.
Observação: o enunciado pede que sejam usados calores específicos variáveis (isto é, usar as propriedades de ar dependentes de temperatura, com tabelas/pr e/vr). Vou seguir essa abordagem: usar as relações termodinâmicas gerais para gases ideais e avaliar integrais de
e
por meio de tabelas de propriedades do ar (valores de entalpia e energia interna como função de
, ou tabelas adimensionais pr/vr). Quando necessário eu explico exatamente a relação usada para cada passo. Não assumirei
constantes.
Passo 2
Entendendo como obter
e
usando calores específicos variáveis (a ideia física e a relação matemática):
Para um gás ideal a compressão e expansão isentrópicas (reversíveis e adiabáticas) satisfazem a igualdade de entropia entre os estados extremos:
Para um gás ideal a compressão e expansão isentrópicas (reversíveis e adiabáticas) satisfazem a igualdade de entropia entre os estados extremos:
A variação de entropia de um gás ideal entre duas temperaturas qualquer é
No processo isentrópico
, rearranjando para o caso compressão 1→2 (onde
) obtemos, usando
para relacionar pressões e volumes quando necessário:
mais direto é usar a forma em volumes:
mais direto é usar a forma em volumes:
Assim, para encontrar
devemos resolver numericamente (ou por interpolação em tabelas) a equação
Analogamente, para a expansão 3→4 (isentrópica) temos
Explicação didática do que fazem as tabelas “pr/vr”: as tabelas de ar frequentemente fornecem valores tabulados de
(ou a forma adimensional
) e de
. Com esses valores encontramos as integrais acima por subtração e, então, determinamos por interpolação a temperatura que satisfaz a igualdade. Isto é exatamente o procedimento de usar calores específicos variáveis em problemas isentrópicos.
Passo 3
Cálculo de
(compressão isentrópica 1→2) — procedimento aplicado:
- Escrevemos a equação a resolver:
- Consultamos a tabela de ar (valores de
ou valores adimensionais ). Calculei a diferença de função entropia adimensional por interpolação nas tabelas para achar que satisfaça . - Executando essa busca/interpolação (isto é, avaliando nas tabelas de ar as entradas necessárias) encontra-se
Comentário prático: se você na prova não tiver máquina para integrar, as tabelas de propriedades (que muitos professores disponibilizam) têm uma coluna com
ou valores equivalentes; basta subtrair o valor em
e procurar na coluna o
que dá a diferença igual a
.
Passo 4
Cálculo de
a partir de
(usando a equação de estado ideal – método simples e confiável):
Para qualquer estado de gás ideal vale ou, em forma de razões:
Para qualquer estado de gás ideal vale
Mas
. Portanto
Substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Estados 2→3 (aquecimento a volume constante) e cálculo de
:
No processo 2→3 o volume é constante ( ), portanto a pressão varia proporcionalmente à temperatura:
No processo 2→3 o volume é constante (
Com
,
e
:
Passo 6
Cálculo de
e
(expansão isentrópica 3→4 e estado 4):
Procedimento análogo ao do passo 3, agora para 3→4:
Procedimento análogo ao do passo 3, agora para 3→4:
Usando as mesmas tabelas de ar (avaliando
por subtração/interpolação) encontra-se
Como o volume no estado 4 é
(no ciclo Otto o pistão retorna ao volume inicial), podemos calcular a pressão
direto pela relação com o estado 1 (mesmo volume, razão pela temperatura):
Passo 7
Cálculo da eficiência térmica do ciclo usando calores específicos variáveis:
A eficiência do ciclo Otto, em termos gerais (qualquer variação de com
), é dada por
A eficiência do ciclo Otto, em termos gerais (qualquer variação de
onde, para processos a volume constante,
Aqui
é a energia interna por unidade de massa, obtida nas tabelas de ar como
ou via entalpia
com
.
Usando as tabelas de propriedades do ar (valores de entalpia/energia interna por unidade de massa) e avaliando as diferenças:
Usando as tabelas de propriedades do ar (valores de entalpia/energia interna por unidade de massa) e avaliando as diferenças:
realizei as leituras/interpolações apropriadas nas tabelas (isto é o uso pedido de calores específicos variáveis). Os valores obtidos (por unidade de massa) foram, arredondando:
Logo
Comentário: o procedimento mostrado é o correto para calores específicos variáveis; se alguém tentasse usar
constante, obteria um valor diferente (geralmente menor) — por isso o enunciado pediu tratar
variáveis.
Passo 8
Cálculo da pressão média efetiva (pme):
Definição e método: a pressão média efetiva é a razão entre o trabalho líquido por ciclo e o deslocamento do pistão (volume deslocado):
Definição e método: a pressão média efetiva é a razão entre o trabalho líquido por ciclo e o deslocamento do pistão (volume deslocado):
O trabalho líquido por ciclo é
(por unidade de massa), multiplicado pela massa
de ar no cilindro:
A massa
no cilindro no estado 1: usando
(com
para o ar),
Vamos calcular numericamente (tudo em SI para consistência):
Volume deslocado:
Trabalhando com os
por unidade de massa obtidos no passo anterior:
Logo o trabalho líquido por ciclo é
Finalmente
Convertendo para atm:
Resposta
T1=300 K, p1=1,00 atm
T2=673,09 K, p2=17,96 atm
T3=2000 K, p3=53,4 atm
T4=1042,9 K, p4=3,48 atm
Eficiência térmica
Pressão média efetiva
T2=673,09 K, p2=17,96 atm
T3=2000 K, p3=53,4 atm
T4=1042,9 K, p4=3,48 atm
Eficiência térmica
Pressão média efetiva