A laje de concreto de um porão tem 11 m de comprimento, 8 m de largura e
de espessura. Durante o inverno, as temperaturas são normalmente de
e
em suas superfícies superior e inferior, respectivamente. Considere o concreto com uma condutividade térmica de
.
(a) Considerando regime permanente e condução unidirecional, escreva a equação da difusão do calor para o problema.
(b) Escreva as condições de contorno do problema.
(c) Escreva a equação da distribuição de temperatura ao longo da laje.
(d) Qual a taxa de perda de calor através da laje?
(e) Se o porão for aquecido por um forno a gás operando com eficiência
e o gás natural estiver cotado a
, qual o custo diário da perda térmica?
(a) Considerando regime permanente e condução unidirecional, escreva a equação da difusão do calor para o problema.
(b) Escreva as condições de contorno do problema.
(c) Escreva a equação da distribuição de temperatura ao longo da laje.
(d) Qual a taxa de perda de calor através da laje?
(e) Se o porão for aquecido por um forno a gás operando com eficiência
Passo 1
O enunciado dá uma laje de concreto com comprimento
, largura
e espessura
. Durante o inverno a superfície superior está a
e a inferior a
. A condutividade térmica do concreto é
. O professor pede cinco coisas separadas: (a) escrever a equação da difusão do calor no caso de regime permanente e condução unidirecional; (b) escrever as condições de contorno; (c) obter a distribuição de temperatura ao longo da espessura da laje; (d) calcular a taxa de perda de calor através da laje; (e) calcular o custo diário dessa perda sabendo que o aquecimento tem eficiência
e o custo do gás é
por
. Estes são todos os dados relevantes do enunciado.
Passo 2
Vamos escolher um sistema de coordenadas simples para trabalhar. Defino o eixo
normal à laje, com
na face inferior (temperatura
) e
na face superior (temperatura
), onde
Essa escolha facilita aplicar as condições de contorno diretamente em
e
.
Passo 3
Explico o que significa “regime permanente” e “condução unidirecional” e a consequência matemática: regime permanente significa que as temperaturas não mudam no tempo, isto é,
. Condução unidirecional aqui significa que a variação térmica ocorre apenas na direção
, ou seja,
. A equação geral da difusão térmica (equação do calor) em 1D é
onde
é a densidade e
o calor específico do material. No regime permanente temos
, logo o lado esquerdo é zero e sobra a equação de Laplace unidimensional
Aqui,
é a temperatura em kelvin ou graus Celsius (diferenças de temperatura são equivalentes nas duas escalas),
está em metros e a equação indica que a curvatura da distribuição de temperatura é nula — ou seja, a solução é linear.
Passo 4
Portanto a resposta para (a) é a equação diferencial em regime permanente e unidimensional. Vou escrevê-la explicitamente:
(Explicação: essa é a forma da equação da difusão do calor quando não há variação temporal e a condutividade é constante.)
Passo 5
Agora as condições de contorno pedidas em (b). Elas vêm diretamente do enunciado: temperatura prescrita nas duas faces. Em nossa coordenada:
com
. Essas são condições de Dirichlet (temperaturas fixas nas fronteiras).
Passo 6
Vamos resolver a equação diferencial para obter a distribuição de temperatura pedida em (c). A equação
integra-se duas vezes. Primeiro, integro uma vez:
onde
é uma constante. Integro de novo:
onde
é outra constante. Agora uso as condições de contorno para determinar
e
.
Passo 7
Aplicando
na expressão
dá
Aplicando
com
dá
Resolvo para
:
Note que a unidade de
é kelvin por metro (ou grau por metro), pois é o gradiente de temperatura.
Passo 8
Substituindo as constantes obtenho a distribuição de temperatura completa pedida em (c):
Checo: para
dá
e para
dá
, conforme esperado.
Passo 9
Agora calculo a taxa de perda de calor através da laje (d). Uso a lei de Fourier para fluxo de calor unidimensional:
onde
é a densidade de fluxo de calor (potência por área) em
,
é a condutividade térmica e
é o gradiente de temperatura. Já sabemos
e
. Então
O sinal negativo indica que o calor flui na direção de
negativa (isto é, do topo para a base, pois a temperatura diminui no sentido negativo do fluxo escolhido). A magnitude da densidade de fluxo é
.
Passo 10
Para obter a taxa total de perda de calor (potência)
eu multiplico o fluxo por área da laje. A área da laje é
Portanto a potência (valor positivo para perda) é
Ou escrevendo com o sinal que indica direção (do interior para o solo),
mas normalmente a “taxa de perda” é dada como
.
Passo 11
Agora (e) — custo diário da perda térmica quando o porão é aquecido por um forno a gás com eficiência
e custo do gás
por
. Primeiro calcule a energia perdida por dia (energia térmica que precisa ser reposta):
Faço a multiplicação:
Como o forno tem eficiência
, a energia contida no gás necessária por dia é
Multiplico pelo custo por
:
Arredondando para duas casas decimais (prática usual em custos monetários) dá aproximadamente
(unidades monetárias por dia, usando a mesma unidade de
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(com
em metros e
em
).
(d)
(perda total através da laje; densidade de fluxo
).
(e)
(unidades monetárias por dia, conforme
).