A laje de concreto de um porão tem 11 m de comprimento, 8 m de largura e 0,20 \mathrm{~m} de espessura. Durante o inverno, as temperaturas são normalmente de 17^{\circ} \mathrm{C} e 10^{\circ} \mathrm{C} em suas superfícies superior e inferior, respectivamente. Considere o concreto com uma condutividade térmica de 1,4 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}).
(a) Considerando regime permanente e condução unidirecional, escreva a equação da difusão do calor para o problema.
(b) Escreva as condições de contorno do problema.
(c) Escreva a equação da distribuição de temperatura ao longo da laje.
(d) Qual a taxa de perda de calor através da laje?
(e) Se o porão for aquecido por um forno a gás operando com eficiência \eta_{f}=0,90 e o gás natural estiver cotado a C_{G}=0,02 / \mathrm{MJ}, qual o custo diário da perda térmica?

Passo 1

O enunciado dá uma laje de concreto com comprimento 11\\ \mathrm{m}, largura 8\\ \mathrm{m} e espessura \,0,20\\ \mathrm{m}. Durante o inverno a superfície superior está a 17^\circ\mathrm{C} e a inferior a 10^\circ\mathrm{C}. A condutividade térmica do concreto é k=1,4\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}). O professor pede cinco coisas separadas: (a) escrever a equação da difusão do calor no caso de regime permanente e condução unidirecional; (b) escrever as condições de contorno; (c) obter a distribuição de temperatura ao longo da espessura da laje; (d) calcular a taxa de perda de calor através da laje; (e) calcular o custo diário dessa perda sabendo que o aquecimento tem eficiência \eta_f=0,90 e o custo do gás é C_G=0,02 por \mathrm{MJ}. Estes são todos os dados relevantes do enunciado.

Passo 2

Vamos escolher um sistema de coordenadas simples para trabalhar. Defino o eixo x normal à laje, com x=0 na face inferior (temperatura 10^\circ\mathrm{C}) e x=L na face superior (temperatura 17^\circ\mathrm{C}), onde
L=0,20\\ \mathrm{m}.
Essa escolha facilita aplicar as condições de contorno diretamente em x=0 e x=L.

Passo 3

Explico o que significa “regime permanente” e “condução unidirecional” e a consequência matemática: regime permanente significa que as temperaturas não mudam no tempo, isto é, \partial T/\partial t=0. Condução unidirecional aqui significa que a variação térmica ocorre apenas na direção x, ou seja, T=T(x). A equação geral da difusão térmica (equação do calor) em 1D é
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2},
onde \rho é a densidade e c o calor específico do material. No regime permanente temos \partial T/\partial t=0, logo o lado esquerdo é zero e sobra a equação de Laplace unidimensional
\frac{d^2 T}{d x^2}=0.
Aqui, T(x) é a temperatura em kelvin ou graus Celsius (diferenças de temperatura são equivalentes nas duas escalas), x está em metros e a equação indica que a curvatura da distribuição de temperatura é nula — ou seja, a solução é linear.

Passo 4

Portanto a resposta para (a) é a equação diferencial em regime permanente e unidimensional. Vou escrevê-la explicitamente:
\frac{d^2 T}{d x^2}=0.
(Explicação: essa é a forma da equação da difusão do calor quando não há variação temporal e a condutividade é constante.)

Passo 5

Agora as condições de contorno pedidas em (b). Elas vêm diretamente do enunciado: temperatura prescrita nas duas faces. Em nossa coordenada:
T(0)=10^\circ\mathrm{C},
T(L)=17^\circ\mathrm{C},
com L=0,20\\ \mathrm{m}. Essas são condições de Dirichlet (temperaturas fixas nas fronteiras).

Passo 6

Vamos resolver a equação diferencial para obter a distribuição de temperatura pedida em (c). A equação \displaystyle \frac{d^2 T}{d x^2}=0 integra-se duas vezes. Primeiro, integro uma vez:
\frac{dT}{dx}=C_1,
onde C_1 é uma constante. Integro de novo:
T(x)=C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante. Agora uso as condições de contorno para determinar C_1 e C_2.

Passo 7

Aplicando T(0)=10^\circ\mathrm{C} na expressão T(x)=C_1 x + C_2
T(0)=C_2=10^\circ\mathrm{C}.
Aplicando T(L)=17^\circ\mathrm{C} com L=0,20\\ \mathrm{m}
17 = C_1 \cdot 0,20 + 10.
Resolvo para C_1:
C_1 = \frac{17-10}{0,20}=\frac{7}{0,20}=35\\ \mathrm{K/m}.
Note que a unidade de C_1 é kelvin por metro (ou grau por metro), pois é o gradiente de temperatura.

Passo 8

Substituindo as constantes obtenho a distribuição de temperatura completa pedida em (c):
T(x)=10 + 35\,x\quad\text{(com \(x\) em metros e \(T\) em }^\circ\mathrm{C}\text{).}
Checo: para x=0 10^\circ\mathrm{C} e para x=0,20 10+35\cdot0,20=10+7=17^\circ\mathrm{C}, conforme esperado.

Passo 9

Agora calculo a taxa de perda de calor através da laje (d). Uso a lei de Fourier para fluxo de calor unidimensional:
q_x = -k \frac{dT}{dx},
onde q_x é a densidade de fluxo de calor (potência por área) em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, k é a condutividade térmica e dT/dx é o gradiente de temperatura. Já sabemos dT/dx=C_1=35\\ \mathrm{K/m} e k=1,4\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}). Então
q_x = -1,4\cdot 35 = -49\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
O sinal negativo indica que o calor flui na direção de x negativa (isto é, do topo para a base, pois a temperatura diminui no sentido negativo do fluxo escolhido). A magnitude da densidade de fluxo é 49\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 10

Para obter a taxa total de perda de calor (potência) \dot{Q} eu multiplico o fluxo por área da laje. A área da laje é
A = 11\\ \mathrm{m}\times 8\\ \mathrm{m} = 88\\ \mathrm{m}^2.
Portanto a potência (valor positivo para perda) é
\dot{Q} = |q_x|\,A = 49\cdot 88 = 4\,312\\ \mathrm{W}.
Ou escrevendo com o sinal que indica direção (do interior para o solo),
\dot{Q} = -4\,312\\ \mathrm{W},
mas normalmente a “taxa de perda” é dada como 4\,312\\ \mathrm{W}.

Passo 11

Agora (e) — custo diário da perda térmica quando o porão é aquecido por um forno a gás com eficiência \eta_f=0,90 e custo do gás C_G=0,02 por \mathrm{MJ}. Primeiro calcule a energia perdida por dia (energia térmica que precisa ser reposta):
E_{\text{dia}} = \dot{Q}\cdot 86400\\ \mathrm{s} = 4\,312\\ \mathrm{W}\cdot 86\,400\\ \mathrm{s}.
Faço a multiplicação:
E_{\text{dia}} = 372\,556\,800\\ \mathrm{J} = 372{,}5568\\ \mathrm{MJ}.
Como o forno tem eficiência \eta_f, a energia contida no gás necessária por dia é
E_{\text{gás}} = \frac{E_{\text{dia}}}{\eta_f} = \frac{372{,}5568}{0{,}90}=413{,}9520\\ \mathrm{MJ}.á
Multiplico pelo custo por \mathrm{MJ}:
\text{Custo diário} = C_G\cdot E_{\text{gás}} = 0{,}02\cdot 413{,}9520 = 8{,}27904.áá
Arredondando para duas casas decimais (prática usual em custos monetários) dá aproximadamente 8{,}28 (unidades monetárias por dia, usando a mesma unidade de C_G).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{d^2 T}{d x^2}=0.
(b) \displaystyle T(0)=10^\circ\mathrm{C},\qquad T(0,20)=17^\circ\mathrm{C}.
(c) \displaystyle T(x)=10+35\,x (com x em metros e T em ^\circ\mathrm{C}).
(d) \displaystyle \dot{Q}=4\,312\\ \mathrm{W} (perda total através da laje; densidade de fluxo |q_x|=49\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2).
(e) \displaystyle \text{Custo diário}\approx 8{,}28á (unidades monetárias por dia, conforme C_G).

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