Expresse a entropia de um gás ideal como função da temperatura e do volume
e da temperatura e da pressão
.
Passo 1
O enunciado pede duas expressões da entropia de um gás ideal:
-
— entropia como função da temperatura e do volume . -
— entropia como função da temperatura e da pressão .
Informações e dados relevantes que o enunciado implica (sem resolver ainda):
- O sistema é um gás ideal, logo vale a equação de estado
, onde é o número de mols e a constante dos gases. - A entropia
é uma função de estado e, para um processo reversível, sua variação é dada por . - Para um gás ideal, a energia interna
depende apenas de , então , onde é a capacidade térmica a volume constante (do sistema inteiro). - É preciso expressar
em termos de e e, separadamente, em termos de e .
Não há valores numéricos fornecidos; as expressões devem ser em forma geral (contendo constantes de integração, caso necessário).
Passo 2
Conceito básico e fórmulas iniciais: energia e entropia infinitesimais.
A definição termodinâmica de entropia para um processo reversível é
A primeira lei da termodinâmica para processo infinitesimal (sistema fechado, sem trabalho de não pressão) dá
onde
é a variação da energia interna e
é o trabalho de pressão. Aqui:
-
é a entropia do sistema (unidade típica: J/K), -
é a temperatura absoluta (K), -
é o calor trocado reversivelmente (J), -
é a pressão (Pa), -
é o volume (m³), -
é a energia interna (J).
Passo 3
Usar a propriedade do gás ideal:
e a definição de capacidade térmica.
Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura, então definimos a capacidade térmica a volume constante do sistema por
o que implica, para variações, que
Observação importante (didática): se
depender de
, temos que tratar
como função
e integrar
. Aqui faremos primeiro o caso usual de
constante (caso simples e muito usado em provas); depois menciono a generalização.
Passo 4
Encontre
em função de
e
, usando o item anterior.
Substituindo
na definição da entropia:
Agora use a equação de estado do gás ideal
. Reescrevendo
, obtemos
Portanto
Passo 5
Integre a expressão obtida para conseguir
.
Integramos
entre um estado de referência
e o estado
. Supondo
constante para facilitar (caso típico), a integração é direta:
As integrais são logaritmos:
Logo, escrevendo a constante de integração
como
,
Observação didática: se
(não constante), o termo
deve ser substituído por
.
Passo 6
Derive
a partir de uma manipulação com a equação de estado.
Partimos da expressão diferencial já obtida:
Usamos a relação entre variações logarítmicas do gás ideal. Da equação
temos, dividindo por
e diferenciando em forma logarítmica,
Substituindo em
,
Agrupando termos,
Reconhecemos a relação de Mayer para capacidades térmicas: a capacidade a pressão constante do sistema é
. Assim
Passo 7
Integre a expressão para obter
.
Integramos
entre um estado de referência
e
. Supondo
constante (caso típico), obtemos
Fazendo as integrais:
Portanto, com
,
Observação didática: se
varia com
, substitua
por
.
Passo 8
Observações finais práticas e formas molares (úteis em provas).
- As constantes
e são entropias no estado de referência escolhido; em muitos problemas escolhe-se um ou convenientemente. - Forma por mol (entropia molar
) enseja substituir por e por , e trocar por nas expressões:
- Se as capacidades térmicas dependem de
, usar integrais em vez de .