Expresse a entropia de um gás ideal como função da temperatura e do volume [S=S(T, V)] e da temperatura e da pressão [S=S(T, p)].

Passo 1

O enunciado pede duas expressões da entropia de um gás ideal:
  1. S=S(T,V) — entropia como função da temperatura T e do volume V.
  2. S=S(T,p) — entropia como função da temperatura T e da pressão p.
Informações e dados relevantes que o enunciado implica (sem resolver ainda):
  • O sistema é um gás ideal, logo vale a equação de estado \;pV=nRT\;, onde n é o número de mols e R a constante dos gases.
  • A entropia S é uma função de estado e, para um processo reversível, sua variação é dada por \;dS=\dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}\;.
  • Para um gás ideal, a energia interna U depende apenas de T, então \;dU=\;C_V\,dT\;, onde C_V é a capacidade térmica a volume constante (do sistema inteiro).
  • É preciso expressar S em termos de T e V e, separadamente, em termos de T e p.
    Não há valores numéricos fornecidos; as expressões devem ser em forma geral (contendo constantes de integração, caso necessário).

Passo 2

Conceito básico e fórmulas iniciais: energia e entropia infinitesimais.
A definição termodinâmica de entropia para um processo reversível é
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
A primeira lei da termodinâmica para processo infinitesimal (sistema fechado, sem trabalho de não pressão) dá
\delta Q_{\text{rev}}=dU+p\,dV,
onde dU é a variação da energia interna e p\,dV é o trabalho de pressão. Aqui:
  • S é a entropia do sistema (unidade típica: J/K),
  • T é a temperatura absoluta (K),
  • \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente (J),
  • p é a pressão (Pa),
  • V é o volume (m³),
  • U é a energia interna (J).

Passo 3

Usar a propriedade do gás ideal: U=U(T) e a definição de capacidade térmica.
Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura, então definimos a capacidade térmica a volume constante do sistema por
C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V,
o que implica, para variações, que
dU=C_V\,dT.
Observação importante (didática): se C_V depender de T, temos que tratar C_V como função C_V(T) e integrar \int \dfrac{C_V(T)}{T}\,dT. Aqui faremos primeiro o caso usual de C_V constante (caso simples e muito usado em provas); depois menciono a generalização.

Passo 4

Encontre dS em função de dT e dV, usando o item anterior.
Substituindo \delta Q_{\text{rev}}=dU+p\,dV=C_V\,dT+p\,dV na definição da entropia:
dS=\frac{C_V\,dT}{T}+\frac{p\,dV}{T}.
Agora use a equação de estado do gás ideal \;pV=nRT\;. Reescrevendo \dfrac{p}{T}=\dfrac{nR}{V}, obtemos
\frac{p\,dV}{T}=nR\frac{dV}{V}.
Portanto
dS=C_V\frac{dT}{T}+nR\frac{dV}{V}.

Passo 5

Integre a expressão obtida para conseguir S(T,V).
Integramos dS entre um estado de referência (T_0,V_0) e o estado (T,V). Supondo C_V constante para facilitar (caso típico), a integração é direta:
S(T,V)-S(T_0,V_0)=\int_{T_0}^{T} C_V\frac{dT'}{T'}+\int_{V_0}^{V} nR\frac{dV'}{V'}.
As integrais são logaritmos:
S(T,V)-S(T_0,V_0)=C_V\ln\frac{T}{T_0}+nR\ln\frac{V}{V_0}.
Logo, escrevendo a constante de integração S(T_0,V_0) como S_0,
S(T,V)=S_0 + C_V\ln\frac{T}{T_0}+nR\ln\frac{V}{V_0}.
Observação didática: se C_V=C_V(T) (não constante), o termo C_V\ln(T/T_0) deve ser substituído por \displaystyle\int_{T_0}^{T}\frac{C_V(T')}{T'}\,dT'.

Passo 6

Derive S=S(T,p) a partir de uma manipulação com a equação de estado.
Partimos da expressão diferencial já obtida:
dS=C_V\frac{dT}{T}+nR\frac{dV}{V}.
Usamos a relação entre variações logarítmicas do gás ideal. Da equação pV=nRT temos, dividindo por V e diferenciando em forma logarítmica,
\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T}-\frac{dp}{p}.
Substituindo em dS,
dS=C_V\frac{dT}{T}+nR\left(\frac{dT}{T}-\frac{dp}{p}\right).
Agrupando termos,
dS=(C_V+nR)\frac{dT}{T}-nR\frac{dp}{p}.
Reconhecemos a relação de Mayer para capacidades térmicas: a capacidade a pressão constante do sistema é C_p=C_V+nR. Assim
dS=C_p\frac{dT}{T}-nR\frac{dp}{p}.

Passo 7

Integre a expressão para obter S(T,p).
Integramos dS entre um estado de referência (T_0,p_0) e (T,p). Supondo C_p constante (caso típico), obtemos
S(T,p)-S(T_0,p_0)=\int_{T_0}^{T} C_p\frac{dT'}{T'}-\int_{p_0}^{p} nR\frac{dp'}{p'}.
Fazendo as integrais:
S(T,p)-S(T_0,p_0)=C_p\ln\frac{T}{T_0}-nR\ln\frac{p}{p_0}.
Portanto, com S(T_0,p_0)=S_0',
S(T,p)=S_0' + C_p\ln\frac{T}{T_0}-nR\ln\frac{p}{p_0}.
Observação didática: se C_p=C_p(T) varia com T, substitua C_p\ln(T/T_0) por \displaystyle\int_{T_0}^{T}\frac{C_p(T')}{T'}\,dT'.

Passo 8

Observações finais práticas e formas molares (úteis em provas).
  • As constantes S_0 e S_0' são entropias no estado de referência escolhido; em muitos problemas escolhe-se um T_0,V_0 ou T_0,p_0 convenientemente.
  • Forma por mol (entropia molar \bar S=S/n) enseja substituir C_V por C_{V,m}=C_V/n e C_p por C_{p,m}=C_p/n, e trocar nR por R nas expressões:
\bar S(T,V)=\bar S_0 + C_{V,m}\ln\frac{T}{T_0}+R\ln\frac{V}{V_0},
\bar S(T,p)=\bar S_0' + C_{p,m}\ln\frac{T}{T_0}-R\ln\frac{p}{p_0}.
  • Se as capacidades térmicas dependem de T, usar integrais \displaystyle\int_{T_0}^{T}\frac{C(T')}{T'}\,dT' em vez de C\ln(T/T_0).

Resposta

S(T,V)=S(T_0,V_0)+C_V\ln\frac{T}{T_0}+nR\ln\frac{V}{V_0}
S(T,p)=S(T_0,p_0)+C_p\ln\frac{T}{T_0}-nR\ln\frac{p}{p_0}

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