12.3 De acordo com Hill e Lounasmaa, a equação da curva de inversão do hélio é
P=-21,0+5,44 T-0,132 T^{2},
onde P é dado em atmosferas.
(a) Qual é a temperatura máxima de inversão?
(b) Que ponto da curva de inversão tem a pressão máxima?

Passo 1

O enunciado dá a curva de inversão do hélio pela função quadrática
P(T) = -21,0 + 5,44\,T - 0,132\,T^2,
onde P está em atmosferas e T é a temperatura. Pede-se:
(a) a temperatura em que P é máxima;
(b) o ponto \bigl(T,P\bigr) dessa pressão máxima.
Para isso, vamos usar a teoria de parábolas: quando o coeficiente de T^2 é negativo, o máximo ocorre no vértice da parábola.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da quadrática \displaystyle P(T)=aT^2 + bT + c:
a = -0,132,\quad b = 5,44,\quad c = -21,0.
Como a<0, a função atinge máximo no vértice dado por
T_{\max} = -\frac{b}{2a}.

Passo 3

Calculando
T_{\max} = -\frac{5,44}{2\cdot(-0,132)} = \frac{5,44}{0,264} \approx 20,606 \approx 20,6.

Passo 4

Para P_{\max} podemos usar
P_{\max} = c - \frac{b^2}{4a} = -21,0 \;-\;\frac{(5,44)^2}{4\cdot(-0,132)}.
Como \,(5,44)^2=29,5936 e 4a=-0,528,
P_{\max} = -21,0 + \frac{29,5936}{0,528} \approx -21,0 + 56,032 \approx 35,0\\ \text{atm}.

Resposta

(a) \;T_{\max}\approx 20,6.
(b) O ponto de pressão máxima é aproximadamente
\bigl(T_{\max},P_{\max}\bigr)\approx(20,6;35,0).

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