Desenvolva as seguintes equações na forma
P v=R \theta\left(1+\frac{B}{v}+\frac{C}{v^{2}}+\frac{D}{v^{3}}+\cdots\right)
e determine o segundo coeficiente do virial em cada caso:
P=\frac{R \theta\left(1-c / v \theta{3}\right)}{v{2}}\left[v+B_{0}\left(1-\frac{b}{v}\right)\right]-\frac{A_{0}(1-a / v)}{v^{2}}
(Beattie-Bridgeman).

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado de Beattie–Bridgeman
P = \frac{R\,\theta\bigl(1-\frac{c}{v\,\theta^{3}}\bigr)}{v^{2}}\Bigl[v + B_{0}\Bigl(1-\frac{b}{v}\Bigr)\Bigr]\;-\;\frac{A_{0}\bigl(1-\frac{a}{v}\bigr)}{v^{2}}
e pede para escrevê-la na forma do virial:
P\,v = R\,\theta\Bigl(1 + \frac{B}{v} + \frac{C}{v^{2}} + \cdots\Bigr)
e identificar o segundo coeficiente do virial B. Para isso, vamos expandir a expressão em potências de 1/v, multiplicar por v e ler o coeficiente de 1/v.

Passo 2

Primeiro, expandimos o produto dentro da fração que precede o colchete:
\Bigl(1 - \frac{c}{v\,\theta^{3}}\Bigr)\Bigl(v + B_{0} - \frac{B_{0}\,b}{v}\Bigr) = v + B_{0} - \frac{B_{0}\,b}{v} - \frac{c}{\theta^{3}} - \frac{c\,B_{0}}{v\,\theta^{3}} + \frac{c\,B_{0}\,b}{v^{2}\,\theta^{3}}.
Assim, a parte com R\,\theta fica
\frac{R\,\theta}{v^{2}} \Bigl[v + B_{0} - \tfrac{B_{0}b}{v} - \tfrac{c}{\theta^{3}} - \tfrac{cB_{0}}{v\,\theta^{3}} + \tfrac{cB_{0}b}{v^{2}\theta^{3}}\Bigr].

Passo 3

Agora somamos o segundo termo -A_{0}(1-a/v)/v^{2} e organizamos as potências de 1/v:
P = R\,\theta\Bigl(\frac{1}{v} + \frac{B_{0}}{v^{2}} - \frac{c}{\theta^{3}v^{2}} - \frac{B_{0}b}{v^{3}} - \frac{cB_{0}}{\theta^{3}v^{3}} + \cdots\Bigr) \;-\;\frac{A_{0}}{v^{2}}+\frac{A_{0}a}{v^{3}}+\cdots.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por v para obter
P\,v = R\,\theta\Bigl(1 + \frac{B_{0}-\frac{c}{\theta^{3}}}{v} + \cdots\Bigr) \;-\;\frac{A_{0}}{v} + \cdots.
Para escrever no formato
\;P\,v = R\,\theta\bigl(1 + \tfrac{B}{v} + \cdots\bigr),
trazemos o termo -A_{0}/v para dentro do parêntese como
-\frac{A_{0}}{v} = R\,\theta\;\Bigl(-\,\frac{A_{0}}{R\,\theta}\Bigr)\frac{1}{v}.

Passo 5

Somando os coeficientes de 1/v dentro de R\,\theta(\cdots), temos
B = B_{0} \;-\;\frac{c}{\theta^{3}} \;-\;\frac{A_{0}}{R\,\theta}.

Resposta

B = B_{0} \;-\;\frac{A_{0}}{R\,\theta}\;-\;\frac{c}{\theta^{3}}.

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