5.4 Uma proveta graduada, de vidro e cilíndrica, de 15 cm de altura e 35 \mathrm{cm}^{2} de seção transversal, contém água até a marca de 10 cm . Coloca-se sobre a boca da proveta uma cartolina, que ali se mantém enquanto a proveta é invertida. Quando a força que suporta a cartolina no fundo da proveta for removida, que massa de água deve ser deixada sair da proveta, de modo que o restante da água possa permanecer dentro dela, desprezando-se o peso da cartolina? (Advertência: tente fazer esta experiência sobre uma pia de cozinha).

Passo 1

O enunciado dá uma proveta cilíndrica de altura H=15\\ \mathrm{cm} e área da seção transversal A=35\\ \mathrm{cm}^2. Inicialmente ela contém água até h_i=10\\ \mathrm{cm} (restando um “bolso” de ar de H-h_i=5\\ \mathrm{cm}). Coloca-se uma cartolina na boca, inverte-se a proveta e, ao retirar o suporte que segurava a cartolina, alguma água pode escapar até que a cartolina passe a ser sustentada unicamente pela diferença de pressão entre fora (atmosfera) e dentro (gás + água). Vamos achar a massa que sai até atingir esse equilíbrio.

Passo 2

Equilíbrio de forças na cartolina (peso da água para baixo, pressão externa para cima, pressão interna para baixo):
(P_{\rm atm}-P_{\rm int})\,A = m\,g,
onde m=\rho A\,h é a massa da água restante e P_{\rm int} é a pressão na face interna da cartolina. Essa pressão interna vem da coluna de água mais a pressão do gás aprisionado acima da água:
P_{\rm int}=P_{\rm gas}+\rho g\,h.
Substituindo em (P_{\rm atm}-P_{\rm int})A=\rho A h\,g
P_{\rm atm}-(P_{\rm gas}+\rho g h)=\rho g h \quad\Longrightarrow\quad P_{\rm atm}=P_{\rm gas}+2\,\rho g\,h.

Passo 3

Como o gás aprisionado sofre expansão isoterma quando sai água, vale
P_{\rm atm}\,V_0 \;=\;P_{\rm gas}\,V_f,
com
V_0 = A\,(H-h_i), \quad V_f = A\,(H-h).
Logo
\frac{P_{\rm gas}}{P_{\rm atm}} =\frac{V_0}{V_f} =\frac{H-h_i}{\,H-h\,}.
Do passo anterior P_{\rm gas}=P_{\rm atm}-2\rho g h, daí
\frac{H-h_i}{\,H-h\,} =1-\frac{2\rho g\,h}{P_{\rm atm}}.

Passo 4

Colocando valores em SI ( H=0,15\\ \mathrm m, h_i=0,10\\ \mathrm m, \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, P_{\rm atm}=1,01\times10^5\\ \mathrm{Pa}) obtém-se equação quadrática em h cuja solução física é
h\approx0{,}0990\\ \mathrm m\quad(9{,}90\\ \mathrm{cm}).

Passo 5

A massa que sai é
\Delta m =\rho\,A\,(h_i-h) =1000\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m^3}\times35\times10^{-4}\\ \mathrm m^2\times(0{,}10-0{,}0990)\\ \mathrm m \approx3{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}
ou seja cerca de 3{,}5\\ \mathrm g.

Resposta

A massa de água que deve ser deixada sair é aproximadamente
\boxed{3{,}5\\ \mathrm{g}}.

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