Determine a eficiência de uma máquina térmica que opera com um gás ideal de acordo com o ciclo Brayton-Joule composto por duas adiabáticas e duas isobáricas. Esboce o ciclo no diagrama de Clapeyron.

Passo 1

O enunciado pede a eficiência de um ciclo de Brayton–Joule operando com gás ideal, formado por duas transformações adiabáticas e duas isobáricas. Vamos usar conceitos de termodinâmica de gases ideais: calor em processo isobárico e relação entre temperaturas em adiabáticas para obter a eficiência térmica

Passo 2

Esboço no diagrama p V (Clapeyron):
– Processo 1\to2: compressão adiabática (curva que sobe de V_1 a V_2 e aumenta p).
– Processo 2\to3: aquecimento isobárico (linha horizontal p_2=p_3, V aumenta de V_2 a V_3).
– Processo 3\to4: expansão adiabática (curva que desce de V_3 a V_4 e p cai de p_3 a p_4).
– Processo 4\to1: resfriamento isobárico (linha horizontal p_4=p_1, V cai de V_4 a V_1).

Passo 3

Calor recebido e rejeitado em cada isobárico. Como em 2\to3 e 4\to1 a pressão é constante,
Q_{\text{in}} = C_{p}\,(T_3 - T_2), \quad Q_{\text{out}} = C_{p}\,(T_4 - T_1).
A eficiência térmica é
\eta = 1 - \frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}.

Passo 4

Use as relações adiabáticas para um gás ideal \gamma = C_p/C_v
T_2 = T_1\,r^{\tfrac{\gamma-1}{\gamma}}, \quad T_4 = T_3\,r^{-\tfrac{\gamma-1}{\gamma}},
onde r = V_{1}/V_{2} é a relação de compressão (ou, equivalentemente, r = p_2/p_1).

Passo 5

Substituindo em \displaystyle\eta = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}:
note que
T_4 - T_1 = T_3\,r^{-\tfrac{\gamma-1}{\gamma}} - T_1, \quad T_3 - T_2 = T_3 - T_1\,r^{\tfrac{\gamma-1}{\gamma}}.
Como T_2/T_1 = r^{\tfrac{\gamma-1}{\gamma}} e T_3/T_4 = r^{\tfrac{\gamma-1}{\gamma}}, verifica-se que
\frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2} = r^{-\tfrac{\gamma-1}{\gamma}}.
Portanto
\eta = 1 - r^{-\tfrac{\gamma-1}{\gamma}}.

Resposta

\eta = 1 - \frac{1}{r^{\tfrac{\gamma-1}{\gamma}}},
onde r = \dfrac{p_{2}}{p_{1}} (relação de compressão do compressor).

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