5.6
Prove que o coeficiente de compressibilidade isotérmico K de um gás real é dado pela relação
\kappa=\frac{1}{P}-\frac{1}{Z}\left(\frac{\partial Z}{\partial P}\right)_{\theta}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o coeficiente de compressibilidade isotérmico de um gás real, definido por
\kappa \;=\; -\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{\theta},
pode ser expresso em função do fator de compressibilidade Z como
\kappa \;=\;\frac{1}{P}\;-\;\frac{1}{Z}\Bigl(\frac{\partial Z}{\partial P}\Bigr)_{\theta}.
Vamos usar a definição de Z e as regras de diferenciação para conduzir essa demonstração.

Passo 2

Lembrando que o fator de compressibilidade Z é definido por
Z \;=\;\frac{P\,V}{R\,T},
onde R é a constante dos gases ideais e T é a temperatura absoluta. Isolando V em função de Z e P, obtemos
V \;=\;\frac{Z\,R\,T}{P}.

Passo 3

Vamos calcular o derivado parcial \displaystyle\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{\theta}. Como R e T são constantes na diferenciação isotérmica, escrevemos
V(P) \;=\;R\,T\;\frac{Z(P)}{P}.
Aplicando a regra do quociente e lembrando que Z também depende de P, temos
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{\theta} =\;R\,T\;\frac{P\,\frac{\partial Z}{\partial P}\;-\;Z}{P^{2}} =\;R\,T\;\Bigl[\frac{1}{P}\frac{\partial Z}{\partial P}\;-\;\frac{Z}{P^{2}}\Bigr].

Passo 4

Substituímos agora esse resultado em
\kappa \;=\; -\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{\theta}.
Sabendo que V=\dfrac{Z\,R\,T}{P}, temos
-\frac{1}{V} =\,-\frac{P}{Z\,R\,T}.
Logo
\kappa =\;-\frac{P}{Z\,R\,T}\;\cdot\;R\,T\;\Bigl[\frac{1}{P}\frac{\partial Z}{\partial P}-\frac{Z}{P^{2}}\Bigr] =\;-\,\frac{P}{Z}\Bigl[\frac{1}{P}\frac{\partial Z}{\partial P}-\frac{Z}{P^{2}}\Bigr].

Passo 5

Distribuindo -\frac{P}{Z} no colchete, obtemos
\kappa =\;-\,\frac{1}{Z}\,\frac{\partial Z}{\partial P} \;+\;\frac{P}{Z}\,\frac{Z}{P^{2}} =\;-\,\frac{1}{Z}\Bigl(\frac{\partial Z}{\partial P}\Bigr)_{\theta} \;+\;\frac{1}{P}.
Reordenando os termos, chegamos à forma final desejada:
\kappa =\;\frac{1}{P} \;-\;\frac{1}{Z}\Bigl(\frac{\partial Z}{\partial P}\Bigr)_{\theta}.

Resposta

\boxed{\kappa=\frac{1}{P}-\frac{1}{Z}\Bigl(\frac{\partial Z}{\partial P}\Bigr)_{\theta}}

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