5.6
Demonstre que o coeficiente de dilatação \beta de um gás real e o fator de compressibilidade Z estão ligados pela seguinte relação:
\beta=\frac{1}{\theta}+\frac{1}{Z}\left(\frac{\partial Z}{\partial \theta}\right)_{p}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que o coeficiente de dilatação térmica de um gás real
\beta = \frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial \theta}\Bigr)_{p}
e o fator de compressibilidade
Z = \frac{pV}{R\,\theta}
são ligados pela relação
\beta = \frac{1}{\theta} + \frac{1}{Z}\Bigl(\frac{\partial Z}{\partial \theta}\Bigr)_{p}.
Vamos usar apenas a definição de Z para reescrever V e, em seguida, calcular \beta.

Passo 2

A partir de
Z = \frac{pV}{R\,\theta}
isolamos V. Como p e R são constantes no processo, obtemos
V = \frac{Z\,R\,\theta}{p}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de V em relação a \theta, à pressão constante:
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial \theta}\Bigr)_{p} = \frac{R}{p}\Bigl(Z + \theta\,\bigl(\frac{\partial Z}{\partial \theta}\bigr)_{p}\Bigr).

Passo 4

Substituímos em
\beta = \frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial \theta}\Bigr)_{p}.
Como V = \frac{Z\,R\,\theta}{p}, temos
\beta = \frac{p}{Z\,R\,\theta}\;\frac{R}{p}\Bigl(Z + \theta\,\bigl(\tfrac{\partial Z}{\partial \theta}\bigr)_{p}\Bigr) = \frac{1}{Z\,\theta}\Bigl(Z + \theta\,\bigl(\tfrac{\partial Z}{\partial \theta}\bigr)_{p}\Bigr).
Fazendo a divisão em dois termos, chega-se a
\beta = \frac{1}{\theta} + \frac{1}{Z}\Bigl(\frac{\partial Z}{\partial \theta}\Bigr)_{p}.

Resposta

\beta = \frac{1}{\theta} + \frac{1}{Z}\Bigl(\frac{\partial Z}{\partial \theta}\Bigr)_{p}.

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