1{ }^{\text {a }} Questão (17 pontos): Considere um ciclo Rankine de geraçáo de potência a vapor operando com 7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de vapor d’água entre as pressões máxima e mínima iguais a, respectivamente, 3 MPa e 7,5 \mathrm{kPa}. Cada quilo de vapor que entra na turbina, possui energia interna de 3467,0 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}. Já ao deixar a turbina, o volume ocupado pela mesma massa ( 1 kg ) é de 18,85 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg}. O vapor deíxa o condensador como líquido saturado e entra na caldeira a 45,8^{\circ} \mathrm{C}.
a) Construa um quadro de propriedades ( P, T, v, h, x e estado) para o fluido de trabalho, indicando-as em todos os pontos do ciclo (indique e justifique cálculos, interpolações, etc.)
b) Determine a eficiência do ciclo
c) Determine a potência líquida do ciclo
d) Determine qual deve ser a taxa de resfriamento do fluido que circula na usina
e) Represente esquematicamente os resultados encontrados em um diagrama ( T \times v ) e em um ( P \times T )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido. Atenção: vou reproduzir os dados exatamente como foram fornecidos para evitar confusão.
Dados fornecidos:
  • Vazão mássica de vapor: \dot m = 7\\ \mathrm{kg/s}.
  • Pressão máxima (pressão da caldeira / entrada da turbina): \,P_{1}=3{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Pressão mínima (pressão do condensador): \,P_{cond}=7{,}5\\ \mathrm{kPa}.
  • Cada quilo de vapor que entra na turbina possui “energia interna” igual a 3467{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}. (Vou discutir abaixo a interpretação física apropriada desse número.)
  • Ao deixar a turbina, o volume ocupado por 1\\ \mathrm{kg} é v_2 = 18{,}85\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • O vapor sai do condensador como líquido saturado e entra na caldeira a 45{,}8^\circ\mathrm{C}.
Perguntas (o que o enunciado pede):
a) Construir um quadro de propriedades (P,T,v,h,x,\text{estado}) para os pontos do ciclo (todos os pontos). Indicar cálculos, interpolações e justificativas.
b) Determinar a eficiência térmica do ciclo.
c) Determinar a potência líquida do ciclo.
d) Determinar a taxa de resfriamento do fluido que circula na usina (potência rejeitada no condensador).
e) Representar esquematicamente os resultados em um diagrama T\times v e em um P\times T.
Observação importante sobre os dados:
  • O enunciado usa a expressão "energia interna de 3467{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}". Em ciclos térmicos com escoamento (turbina, bomba, trocadores), a grandeza utilizada nas equações de balanço de energia é a entalpia específica h (não a energia interna u). A entalpia aparece porque o trabalho útil do escoamento ideal e energia trocada em calor são expressos via h para escoamento estacionário. Portanto, para prosseguir com um método direto e consistente com o que se pede (calcular trabalho da turbina e trocas de calor), vou interpretar o número dado como a entalpia específica na entrada da turbina:
\boxed{h_1 = 3467{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.}
(Se de fato o enunciado quisesse u_1 em vez de h_1, seria necessário ter também o volume específico v_1 para converter u em h por h=u+Pv. Como o enunciado só fornece um único número, a interpretação física que torna o problema solucionável é tratá-lo como entalpia na entrada da turbina.)
  • Outra observação: o enunciado afirma que o fluido entra na caldeira a 45{,}8^\circ\mathrm{C}. Esse valor coincide com a temperatura de saturação aproximada para uma pressão de 10\\ \mathrm{kPa} ( 0{,}01\\ \mathrm{MPa}), porque \,T_{sat}(0{,}01\\ \mathrm{MPa})\approx45{,}81^\circ\mathrm{C}. O enunciado porém informa P_{cond}=7{,}5\\ \mathrm{kPa}. Vou aceitar os números do enunciado, mas ao longo da resolução eu usarei as propriedades termodinâmicas de saturado correspondentes a P_{cond}=7{,}5\\ \mathrm{kPa}. Quando for necessário, farei aproximações justificadas (por exemplo, para v_g posso usar a aproximação do gás ideal quando a vapor está muito rarefeito), indicando sempre a aproximação usada.
Agora que identifiquei todos os dados e o que é pedido, começo a resolução passo a passo.

Passo 2

Esquema do ciclo Rankine ideal (passos físicos) e identificação dos estados que preciso tabelar:
  • Estado 1: saída da caldeira / entrada da turbina. Dados: P_1 = 3{,}0\\ \mathrm{MPa} e \,h_1 = 3467{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} (superaquecido, presumivelmente). Precisamos de T_1, v_1, x_1 e estado (provavelmente superaquecido vapor seco).
  • Estado 2: saída da turbina / entrada do condensador. Dado: P_2 = P_{cond} = 7{,}5\\ \mathrm{kPa} e v_2 = 18{,}85\\ \mathrm{m^3/kg}. Precisamos de T_2, h_2, x_2 e estado (provavelmente mistura vapor–líquido).
  • Estado 3: saída do condensador / entrada da bomba: líquido saturado à pressão do condensador. Então P_3 = P_{cond}, T_3 = T_{sat}(P_{cond}) e h_3 = h_f(P_{cond}), v_3 = v_f(P_{cond}), qualidade x_3=0.
  • Estado 4: saída da bomba / entrada da caldeira: líquido comprimido a pressão da caldeira P_4=P_1=3{,}0\\ \mathrm{MPa}. Entra na caldeira praticamente à mesma entalpia de líquido saturado mais trabalho da bomba h_4 \approx h_3 + v_3 (P_4-P_3).
No Rankine ideal (assumindo turbina adiabática reversível sem perdas internas além da expansão) o trabalho por unidade de massa na turbina é
w_t = h_1 - h_2,
o trabalho por unidade de massa da bomba é aproximadamente
w_p \approx v_3 (P_4 - P_3),
e o trabalho líquido por massa é
w_{net} = w_t - w_p = (h_1 - h_2) - w_p.
A entrada de calor por massa na caldeira é
q_{in} = h_1 - h_4,
logo a eficiência térmica do ciclo é
\eta = \frac{w_{net}}{q_{in}}.
A potência líquida é \dot W_{net} = \dot m\, w_{net}. A taxa de resfriamento (potência rejeitada no condensador) é
\dot Q_{out} = \dot m\,(h_2 - h_3).
Nos próximos passos vou obter numericamente h_2, h_3, h_4, w_p, w_t, w_{net}, q_{in}, \eta, \dot W_{net}, \dot Q_{out} (levando em conta as aproximações que justificarei).

Passo 3

Determinar as propriedades no condensador (estado 3) e a qualidade no ponto 2 a partir do volume específico dado.
  1. Saturado no condensador (estado 3):
  • Para \,P_{cond}=7{,}5\\ \mathrm{kPa} toma-se a temperatura de saturação correspondente T_{sat}(7{,}5\\ \mathrm{kPa}). O enunciado diz que o líquido entra na caldeira a 45{,}8^\circ\mathrm{C}; portanto adotamos como consistentes T_{sat}\approx45{,}8^\circ\mathrm{C} (esta é uma hipótese coerente com o enunciado; se se usasse tabela precisa, substituir por T_{sat} tabelado para 7{,}5\\ \mathrm{kPa}).
  • O volume específico do líquido saturado v_f é muito pequeno (da ordem de 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/kg}); vou usar a aproximação v_f\approx 0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg} (valor típico nas proximidades de tensões baixas).
  • O entalpia do líquido saturado h_f em torno dessa temperatura é da ordem de h_f\approx 192\\ \mathrm{kJ/kg} (valor típico próximo a 45^\circ\mathrm{C}). Vou usar h_3=h_f\approx191{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}. (Esses números são os que aparecem nas tabelas de vapor saturado próximas de 45{,}8^\circ\mathrm{C}.)
  1. Determinar a qualidade x_2 no escoamento de saída da turbina usando o volume específico:
  • A relação para mistura é
v_2 = v_f + x_2\,(v_g - v_f) \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{v_2 - v_f}{v_g - v_f}.
  • Não temos diretamente v_g tabelado para P_{cond}=7{,}5\\ \mathrm{kPa}, mas para vapores saturados a pressões baixas o vapor é muito rarefeito e pode ser aproximado pelo gás ideal:
v_g \approx \frac{R\,T_{sat}}{P_{cond}},
onde R para a água é R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (unidade que combina com kPa e m^3: 1 kPa·m^3 = 1 kJ).
  • Converter T_{sat}=45{,}8^\circ\mathrm{C}=318{,}95\\ \mathrm{K} e P_{cond}=7{,}5\\ \mathrm{kPa}. Assim
v_g \approx \frac{0{,}4615\cdot 318{,}95}{7{,}5} = \frac{147{,}17}{7{,}5}\approx 19{,}63\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Comentário: essa aproximação pelo gás ideal é adequada como estimativa em baixas pressões; se tiver a tabela de vapor saturado exata para 7{,}5\\ \mathrm{kPa} o valor de v_g deve ser substituído pelo tabelado.)
  • Agora calcule x_2 com v_2=18{,}85\\ \mathrm{m^3/kg} e v_f\approx0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg}:
x_2 \approx \frac{18{,}85 - 0{,}001012}{19{,}63 - 0{,}001012} \approx \frac{18{,}848988}{19{,}628988} \approx 0{,}9603.
Portanto x_2\approx 0{,}960. Estado 2 é mistura vapor+líquido, qualidade aproximadamente 96{,}0\% — a turbina extraiu bastante energia, mas o vapor ainda tem fração apreciável de vapor.
  1. Determinar entalpia h_2 no estado 2 usando a qualidade:
  • A entalpia de mistura é
h_2 = h_f + x_2\,h_{fg},
onde h_{fg}=h_g-h_f é o calor latente à pressão do condensador. Em ausência de tabela exata para 7{,}5\\ \mathrm{kPa} uso um valor aproximado de h_{fg}\approx 2400\\ \mathrm{kJ/kg} (valor aproximado para temperaturas ao redor de 45^\circ\mathrm{C}; tabelas exatas dão número na faixa 2390 2410\\ \mathrm{kJ/kg}).
  • Assim
h_2 \approx 191{,}8 + 0{,}9603\cdot 2400 \approx 191{,}8 + 2304{,}7 \approx 2496{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
Resumo até aqui (valores que já temos):
  • P_1 = 3{,}0\\ \mathrm{MPa}, h_1 = 3467{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} (dado).
  • P_2 = 7{,}5\\ \mathrm{kPa}, v_2 = 18{,}85\\ \mathrm{m^3/kg}, x_2 \approx 0{,}9603, h_2\approx2496{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • P_3 = 7{,}5\\ \mathrm{kPa}, T_3\approx45{,}8^\circ\mathrm{C}, h_3=h_f\approx191{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}, v_3=v_f\approx0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg}.
No próximo passo calculo o trabalho da bomba e os termos energéticos do ciclo.

Passo 4

Cálculo do trabalho da bomba w_p e da entalpia após a bomba h_4.
  • Fórmula aproximada para bomba (líquido pouco compressível):
w_p \approx v_3 (P_4 - P_3),
com v_3 em \mathrm{m^3/kg} e P em \mathrm{kPa} produzindo w_p em \mathrm{kJ/kg}.
  • Convertendo pressões: P_4 = P_1 = 3{,}0\\ \mathrm{MPa} = 3000\\ \mathrm{kPa}. P_3 = 7{,}5\\ \mathrm{kPa}.
  • Com v_3 \approx 0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg},
w_p \approx 0{,}001012\cdot(3000 - 7{,}5)=0{,}001012\cdot 2992{,}5 \approx 3{,}03\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Entalpia na saída da bomba (entrada da caldeira):
h_4 \approx h_3 + w_p \approx 191{,}8 + 3{,}03 \approx 194{,}83\\ \mathrm{kJ/kg}.
Comentários: o trabalho da bomba é pequeno comparado ao trabalho da turbina — por isso em muitas contas é desprezível, mas aqui mantivemos o termo.

Passo 5

Cálculo do trabalho da turbina por unidade de massa, trabalho líquido por massa, calor fornecido e eficiência térmica.
  1. Trabalho por massa na turbina:
w_t = h_1 - h_2 \approx 3467{,}0 - 2496{,}5 = 970{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
  1. Trabalho líquido por massa:
w_{net} = w_t - w_p \approx 970{,}5 - 3{,}03 = 967{,}47\\ \mathrm{kJ/kg}.
  1. Calor adicionado por massa na caldeira:
q_{in} = h_1 - h_4 \approx 3467{,}0 - 194{,}83 = 3272{,}17\\ \mathrm{kJ/kg}.
  1. Eficiência térmica do ciclo:
\eta = \frac{w_{net}}{q_{in}} \approx \frac{967{,}47}{3272{,}17} \approx 0{,}2957 \quad\text{(ou }29{,}57\%\text{).}
Portanto a eficiência térmica do ciclo Rankine ideal, com as aproximações feitas, é aproximadamente 29{,}6\%.

Passo 6

Cálculo da potência líquida do ciclo e da taxa de resfriamento (calor rejeitado no condensador).
  1. Potência líquida:
\dot W_{net} = \dot m\, w_{net} = 7{,}0\\ \mathrm{kg/s}\cdot 967{,}47\\ \mathrm{kJ/kg} = 6772{,}3\\ \mathrm{kW}\approx 6{,}772\\ \mathrm{MW}.
(Arredondei para três algarismos significativos quando pertinente.)
  1. Taxa de resfriamento do fluido (potência rejeitada no condensador):
\dot Q_{out} = \dot m\,(h_2 - h_3) = 7{,}0\cdot(2496{,}5 - 191{,}8) = 7{,}0\cdot2304{,}7 \approx 16\,133{,}0\\ \mathrm{kW}\approx 16{,}13\\ \mathrm{MW}.
Cheque de energia (controle rápido):
\dot Q_{in} = \dot m (h_1 - h_4)=7\cdot 3272{,}17\approx 22\,905{,}2\\ \mathrm{kW}.
E \dot Q_{in} - \dot Q_{out} \approx 22\,905{,}2 - 16\,133{,}0 \approx 6\,772{,}2\\ \mathrm{kW} que é a \dot W_{net} calculada — bom, as contas estão consistentes.

Passo 7

Construção do quadro de propriedades (resumo tabular) e comentários sobre cada ponto — mostro os valores calculados e a indicação do estado. (Se o enunciado permitir, em provas normalmente obtém-se esses valores de tabelas de vapor saturado / superaquecido; aqui foram usadas aproximações justificadas onde a tabela não foi disponível.)
Quadro de propriedades (valores aproximados, com as aproximações indicadas):
  • Ponto 1 (entrada da turbina):
    \;P_1 = 3{,}0\\ \mathrm{MPa}
    \;T_1 : (superaquecido — temperatura não fornecida; T_1 pode ser obtida na tabela superaquecedo correspondente a P_1 e h_1)
    \;v_1 : (obtido na tabela de vapor superaquecido correspondente a P_1,h_1; não é necessário para os balanços, pois h_1 está dado)
    \;h_1 = 3467{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} (dado interpretado como entalpia)
    \;x_1 = 1 (vapor seco superaqueccido)
    Estado: vapor superaquecido (entrada da turbina).
  • Ponto 2 (saída da turbina):
    \;P_2 = 7{,}5\\ \mathrm{kPa}
    \;T_2 \approx T_{sat}(P_2)\approx 45{,}8^\circ\mathrm{C} (aprox., pois a mistura está à pressão de condensador)
    \;v_2 = 18{,}85\\ \mathrm{m^3/kg} (dado)
    \;x_2 \approx 0{,}9603 (calculado via aproximação do gás ideal para v_g)
    \;h_2 \approx 2496{,}5\\ \mathrm{kJ/kg} (calculado: h_2 \approx h_f + x_2 h_{fg} com h_f\approx191{,}8 e h_{fg}\approx2400\\ \mathrm{kJ/kg} aprox.)
    Estado: mistura vapor–líquido (qualidade \approx96{,}0\%).
  • Ponto 3 (saída do condensador):
    \;P_3 = 7{,}5\\ \mathrm{kPa}
    \;T_3 \approx45{,}8^\circ\mathrm{C} (dado/assumido)
    \;v_3 = v_f\approx 0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg} (aprox.)
    \;h_3 = h_f\approx 191{,}8\\ \mathrm{kJ/kg} (aprox.)
    \;x_3 = 0 (líquido saturado)
    Estado: líquido saturado.
  • Ponto 4 (saída da bomba / entrada da caldeira):
    \;P_4 = 3{,}0\\ \mathrm{MPa}
    \;T_4 \approx T_3 (pequena diferença por compressão, temperatura praticamente a do líquido)
    \;v_4\approx v_3\approx 0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg}
    \;h_4 \approx h_3 + w_p \approx 191{,}8 + 3{,}03 \approx 194{,}83\\ \mathrm{kJ/kg}
    Estado: líquido comprimido (próximo de líquido saturado a P_4).
Observação final sobre a tabela: para valores finais com precisão de tabela, substitua os v_f, h_f, h_{fg}, v_g aproximados pelas linhas correspondentes de uma tabela de vapor saturado e superaqueccido para exatamente P_{cond}=7{,}5\\ \mathrm{kPa} e P_1=3{,}0\\ \mathrm{MPa}. A metodologia e as fórmulas acima mostram como proceder.

Passo 8

Esboço dos diagramas solicitados (orientação de como desenhar):
  • Diagrama T\times v: desenhar a curva de saturação (campânula) com a região líquida à esquerda e vapor à direita. Marcar os quatro pontos: 3→1 (aquecimento e vapor superaqueccido na caldeira até h_1), 1→2 (expansão isentrópica ideal na turbina — traçar uma linha vertical aproximadamente se for isentrópica em s, ou simplesmente uma curva descendente de temperatura com aumento de v), 2→3 (condensação à P_{cond} à medida que o volume diminui muito ao passar para líquido), 3→4 (pequeno aumento de pressão/compressão com quase mesma v). Indicar no gráfico os valores aproximados de v_2=18{,}85\\ \mathrm{m^3/kg} e v_3\approx0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Diagrama P\times T (diagrama de fases): desenhar a curva de saturação (linha de saturação traça T_{sat} em função de P); marcar P_1=3\\ \mathrm{MPa} com o ponto de vapor superaquecido (acima da curva de saturação), e P_{cond}=7{,}5\\ \mathrm{kPa} com o ponto saturado à T\approx45{,}8^\circ\mathrm{C}. Traçar as transições do ciclo (isobáricas na caldeira e no condensador e compressão vertical até P_1, etc.).
Esses desenhos são esquemáticos e, em prova, pede-se normalmente apenas um esboço indicando os estados e as curvas relevantes.

Resposta

a) Quadro de propriedades (valores aproximados, ver explicações acima):
Ponto 1: P_1=3{,}0\\ \mathrm{MPa},\;T_1 (superaquecido, obtido em tabela), v_1 (tabela), h_1=3467{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}, x_1=1 — estado: vapor superaquecido.
Ponto 2: P_2=7{,}5\\ \mathrm{kPa},\;T_2\approx45{,}8^\circ\mathrm{C},\;v_2=18{,}85\\ \mathrm{m^3/kg},\;h_2\approx2496{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},\;x_2\approx0{,}960 — estado: mistura.
Ponto 3: P_3=7{,}5\\ \mathrm{kPa},\;T_3\approx45{,}8^\circ\mathrm{C},\;v_3\approx0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg},\;h_3\approx191{,}8\\ \mathrm{kJ/kg},\;x_3=0 — estado: líquido saturado.
Ponto 4: P_4=3{,}0\\ \mathrm{MPa},\;T_4\approx T_3,\;v_4\approx0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg},\;h_4\approx194{,}83\\ \mathrm{kJ/kg} — estado: líquido comprimido.
b) Eficiência térmica do ciclo: \displaystyle \eta\approx 29{,}6\%.
c) Potência líquida do ciclo: \displaystyle \dot W_{net}\approx 6{,}772\\ \mathrm{MW}.
d) Taxa de resfriamento (potência rejeitada no condensador): \displaystyle \dot Q_{out}\approx 16{,}13\\ \mathrm{MW}.
e) Diagramas: esboçar um T\times v com a campânula de saturação e os pontos 1–4 marcados (1 superaqueccido na pressão alta, 1→2 expansão na turbina, 2→3 condensação isobárica, 3→4 compressão da bomba) e um P\times T com a curva de saturação, marcando P_1=3\\ \mathrm{MPa} e P_{cond}=7{,}5\\ \mathrm{kPa} e os mesmos pontos; (na resolução entregue em prova, desenhar esses esboços e identificar valores numéricos como acima).
Observação final: os cálculos acima usam aproximações justificadas (aproximação do vapor saturado por gás ideal para estimar v_g em 7{,}5\\ \mathrm{kPa} e valores típicos de h_f e h_{fg} perto de 45{,}8^\circ\mathrm{C}). Se você tiver numa prova as tabelas de vapor saturado e superaqueccido, substitua v_f,h_f,h_{fg},v_g pelos valores tabelados para P_{cond}=7{,}5\\ \mathrm{kPa} e P_1=3{,}0\\ \mathrm{MPa} para obter resultados numéricos mais precisos (o procedimento e as fórmulas permanecem iguais).

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