The energy of a particular system, of one mole, is given by
U=A P^{2} V
where A is a positive constant of dimensions [\mathrm{P}]^{-1}. Find the equation of the adiabats in the P-V plane.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A energia interna de uma amostra de uma mol é dada por U = A P^{2} V, onde A>0 e tem dimensão [\mathrm{P}]^{-1}.
  • Pede-se: encontrar a equação das adiabatas no plano P\!-\!V (isto é, as curvas que o sistema segue quando o processo é adiabático).

Passo 2

Lembrete físico e matemático básico (essencial para começar):
  • A primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado pode ser escrita em forma diferencial como dQ = dU + \delta W.
  • Para um processo reversível com trabalho de expansão, tem-se \delta W = P\,dV.
  • Em um processo adiabático dQ=0. Portanto, ao longo de uma adiabat vale a relação diferencial
dU + P\,dV = 0.
Vou usar essa equação para relacionar P e V através de U.

Passo 3

Calculando o diferencial de U. Como U depende de P e V pela expressão dada, uso a regra do produto (derivada total):
U = A P^{2} V.
Aplicando diferencial total:
dU = A\,d(P^{2}V) = A\big( d(P^{2})\cdot V + P^{2}\,dV\big).
E como d(P^{2}) = 2P\,dP, obtemos
dU = A\big(2P V\,dP + P^{2}\,dV\big).

Passo 4

Substituo dU na equação adiabática dU + P\,dV = 0:
A\big(2P V\,dP + P^{2}\,dV\big) + P\,dV = 0.
Agrupando os termos em dP e dV:
2A P V\,dP + \big(A P^{2} + P\big)dV = 0.
Como em adiabatas P não é identicamente zero, divido por P para simplificar:
2A V\,dP + \big(A P + 1\big)dV = 0.

Passo 5

Isolo os diferenciais para separar variáveis (colocar tudo com P de um lado e V do outro):
2A V\,dP = -\big(A P + 1\big)dV.
Agora divido por 2A V\big(A P + 1\big) para obter formas integráveis:
\frac{dP}{A P + 1} = -\frac{1}{2A}\,\frac{dV}{V}.

Passo 6

Integro ambos os lados. As integrais são simples logaritmos:
  • Do lado esquerdo:
\int \frac{dP}{A P + 1} = \frac{1}{A}\ln\big(A P + 1\big).
(Explicação rápida: derivada de A P+1 é A, por isso surge o fator 1/A.)
  • Do lado direito:
\int -\frac{1}{2A}\,\frac{dV}{V} = -\frac{1}{2A}\ln V + C,
onde C é constante de integração.
Igualando:
\frac{1}{A}\ln\big(A P + 1\big) = -\frac{1}{2A}\ln V + C.
Multiplico tudo por A:
\ln\big(A P + 1\big) = -\tfrac{1}{2}\ln V + C',
com C' = A C. Reunindo logaritmos:
\ln\!\big[(A P + 1)\,V^{1/2}\big] = C'.
Exponenciando:
(A P + 1)\,V^{1/2} = \text{const.}

Passo 7

Interpretação final e forma explícita de P(V):
  • A equação das adiabatas é qualquer curva no plano P\!-\!V que satisfaça
\big(1 + A P\big)\sqrt{V} = \text{const}.
  • Se for conveniente expressar P em função de V, pode-se escrever
P(V)=\dfrac{C}{\sqrt{V}}-\dfrac{1}{A},
onde C é uma constante determinada pela condição inicial (por exemplo pelos valores P_0,V_0 de um ponto da curva).
Força aí — com a constante inicial você já traça a adiabat no gráfico P\!-\!V.

Resposta

(1 + A P)\sqrt{V}=\text{const.}

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