The energy of a particular system, of one mole, is given by
where
is a positive constant of dimensions
. Find the equation of the adiabats in the
plane.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A energia interna de uma amostra de uma mol é dada por
onde e tem dimensão . - Pede-se: encontrar a equação das adiabatas no plano
(isto é, as curvas que o sistema segue quando o processo é adiabático).
Passo 2
Lembrete físico e matemático básico (essencial para começar):
- A primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado pode ser escrita em forma diferencial como
- Para um processo reversível com trabalho de expansão, tem-se
. - Em um processo adiabático
. Portanto, ao longo de uma adiabat vale a relação diferencial
Vou usar essa equação para relacionar
e
através de
.
Passo 3
Calculando o diferencial de
. Como
depende de
e
pela expressão dada, uso a regra do produto (derivada total):
Aplicando diferencial total:
E como
, obtemos
Passo 4
Substituo
na equação adiabática
:
Agrupando os termos em
e
:
Como em adiabatas
não é identicamente zero, divido por
para simplificar:
Passo 5
Isolo os diferenciais para separar variáveis (colocar tudo com
de um lado e
do outro):
Agora divido por
para obter formas integráveis:
Passo 6
Integro ambos os lados. As integrais são simples logaritmos:
- Do lado esquerdo:
(Explicação rápida: derivada de
é
, por isso surge o fator
.)
- Do lado direito:
onde
é constante de integração.
Igualando:
Multiplico tudo por
:
com
. Reunindo logaritmos:
Exponenciando:
Passo 7
Interpretação final e forma explícita de
:
- A equação das adiabatas é qualquer curva no plano
que satisfaça
- Se for conveniente expressar
em função de , pode-se escrever
onde
é uma constante determinada pela condição inicial (por exemplo pelos valores
de um ponto da curva).
Força aí — com a constante inicial você já traça a adiabat no gráfico
.