• Para \theta_{3} :
\begin{aligned} & \frac{\partial L}{\partial \theta_{3}}=I_{3} \dot{\theta}_{3} ; \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{3}}\right)=I_{3} \ddot{\theta}_{3} \\\ & \frac{\partial L}{\partial \theta_{3}}=K_{3}\left(\theta_{3}-\theta\right) \\\ & I_{3} \ddot{\theta}_{3}+K_{3}\left(\theta_{3}-\theta\right)=0 \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei tudo do enunciado enviado):
  • Temos uma coordenada generalizada \theta_{3}(t) associada a um momento de inércia I_{3}.
  • Existe um termo elástico com constante K_{3} que liga \theta_{3} à outra coordenada \theta(t), de modo que a energia potencial depende de \theta_{3}-\theta.
  • Foram apresentados os seguintes cálculos parciais (estes são os dados que vou usar):
    • \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{3}}=I_{3}\dot{\theta}_{3}.
    • \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{3}}\right)=I_{3}\ddot{\theta}_{3}.
    • \dfrac{\partial L}{\partial \theta_{3}}=K_{3}\left(\theta_{3}-\theta\right).
  • A tarefa é obter a equação de movimento para \theta_{3}(t) a partir dessas informações e entender claramente cada passo do cálculo.

Passo 2

Lembrando a fórmula que relaciona as quantidades que foram dadas (aqui explico didaticamente o que estamos usando).
  • Existe uma relação geral (Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada q): \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Explicando: L é a Lagrangiana do sistema (energia cinética menos energia potencial), \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} é o momento conjugado associado à velocidade \dot{q}, e a equação acima é a condição de equilíbrio dinâmico que fornece a equação de movimento. Aqui a coordenada q é \theta_{3}.

Passo 3

Aplicando Euler–Lagrange a \theta_{3} usando os termos fornecidos.
  • Substituo os termos que o enunciado forneceu na fórmula \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{3}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial \theta_{3}}=0.
  • Pelos dados:
    • \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{3}}\right)=I_{3}\ddot{\theta}_{3}.
    • \dfrac{\partial L}{\partial \theta_{3}}=K_{3}\left(\theta_{3}-\theta\right).
  • Logo, substituindo: I_{3}\ddot{\theta}_{3}-K_{3}\left(\theta_{3}-\theta\right)=0.

Passo 4

Arrumando a equação para uma forma padrão e interpretando os sinais.
  • Reescrevo a equação do passo anterior como: I_{3}\ddot{\theta}_{3}+K_{3}\left(\theta_{3}-\theta\right)=0.
  • Interpretando: esse é um oscilador linear com rigidez K_{3} e inércia I_{3}, mas ligado à coordenada \theta(t). Se \theta fosse zero ou constante, seria um oscilador livre com frequência natural determinada por K_{3} e I_{3}.

Passo 5

Coloco a equação em forma de equação diferencial linear de 2ª ordem mais explícita, isolando \ddot{\theta}_{3}.
  • Dividindo por I_{3} (assumindo I_{3}\neq0): \ddot{\theta}_{3}+\frac{K_{3}}{I_{3}}\theta_{3}=\frac{K_{3}}{I_{3}}\theta(t).
  • Defino a frequência natural associada \theta_{3} como \displaystyle \omega_{3}=\sqrt{\frac{K_{3}}{I_{3}}}. Assim a equação fica: \ddot{\theta}_{3}+\omega_{3}^{2}\theta_{3}=\omega_{3}^{2}\theta(t).
  • É uma equação linear não homogênea: o termo do lado direito é uma “força” (no sentido de forçamento) dependente de \theta(t).

Passo 6

Mostro como resolver essa equação de forma geral (passo a passo para saber aplicar na prova).
  • Estratégia padrão: solução geral = solução homogênea + uma solução particular.
    1. Solução homogênea (quando a parte direita é zero): resolver \ddot{\theta}_{3}+\omega_{3}^{2}\theta_{3}=0. As soluções são combinações de cosseno e seno: \theta_{3}^{(h)}(t)=C_{1}\cos(\omega_{3}t)+C_{2}\sin(\omega_{3}t),onde C_{1},C_{2} são constantes determinadas por condições iniciais \theta_{3}(0) e \dot{\theta}_{3}(0).
      Explicando: isso vem de assumir solução do tipo e^{\lambda t}, obter \lambda^{2}+\omega_{3}^{2}=0 e assim \lambda=\pm i\omega_{3}.
    2. Solução particular depende da forma de \theta(t). Alguns casos úteis na prova:
      • Se \theta(t)=\theta_{0} (constante), então uma solução particular constante \theta_{3}^{(p)}=\theta_{0} funciona, pois substituindo dá \omega_{3}^{2}\theta_{0}=\omega_{3}^{2}\theta_{0}.
      • Se \theta(t) for harmonic, \theta(t)=A\cos(\Omega t+\varphi), então buscar uma particular do mesmo tipo (método dos coeficientes indeterminados) leva a uma resposta de amplitude dependente da diferença entre \Omega e \omega_{3}.
      • Se \theta(t) for qualquer função conhecida, pode-se obter a solução particular por convolução com a resposta ao impulso (uso da função de Green) ou por variação de parâmetros. Na prova normalmente basta saber a forma e, para casos simples, calcular explicitamente.
  • Assim a solução geral fica: \theta_{3}(t)=\theta_{3}^{(p)}(t)+C_{1}\cos(\omega_{3}t)+C_{2}\sin(\omega_{3}t).

Passo 7

Uma alternativa prática: trabalhar com a coordenada relativa \psi(t)=\theta_{3}(t)-\theta(t).
  • Defino \psi=\theta_{3}-\theta. Então \ddot{\psi}=\ddot{\theta}_{3}-\ddot{\theta}.
  • A equação original I_{3}\ddot{\theta}_{3}+K_{3}\psi=0 torna-se, substituindo \ddot{\theta}_{3}=\ddot{\psi}+\ddot{\theta}: I_{3}\left(\ddot{\psi}+\ddot{\theta}\right)+K_{3}\psi=0.
  • Rearranjando: I_{3}\ddot{\psi}+K_{3}\psi=-I_{3}\ddot{\theta},
ou em forma padrão: \ddot{\psi}+\omega_{3}^{2}\psi=-\ddot{\theta}.
  • Interpretação didática: a diferença \psi obedece a um oscilador forçado cuja força efetiva é proporcional à aceleração de \theta. Isto às vezes simplifica encontrar soluções quando se conhece \theta(t).

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar (maneira que ajuda na prova):
  • Caso 1: \theta(t)=\theta_{0} (constante). Então \theta_{3}^{(p)}=\theta_{0} e a solução geral é \theta_{3}(t)=\theta_{0}+C_{1}\cos(\omega_{3}t)+C_{2}\sin(\omega_{3}t).
  • Caso 2: \theta(t)=A\cos(\Omega t). Procurando \theta_{3}^{(p)}=B\cos(\Omega t) e substituindo em \ddot{\theta}_{3}+\omega_{3}^{2}\theta_{3}=\omega_{3}^{2}A\cos(\Omega t) obtém-se \left(-\Omega^{2}+\omega_{3}^{2}\right)B=\omega_{3}^{2}A\quad\Rightarrow\quad B=\frac{\omega_{3}^{2}}{\omega_{3}^{2}-\Omega^{2}}\,A,
desde que \Omega\neq\omega_{3}. Isso mostra ressonância quando \Omega está muito próximo de \omega_{3}.
  • Esses exemplos mostram como escolher rapidamente uma solução particular apropriada na prova.

Resposta

I_{3}\ddot{\theta}_{3}+K_{3}\left(\theta_{3}-\theta\right)=0
\displaystyle \ddot{\theta}_{3}+\frac{K_{3}}{I_{3}}\theta_{3}=\frac{K_{3}}{I_{3}}\theta(t)
\displaystyle \theta_{3}(t)=\theta_{3}^{(p)}(t)+C_{1}\cos\!\big(\omega_{3}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\omega_{3}t\big),\quad \omega_{3}=\sqrt{\frac{K_{3}}{I_{3}}}

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