- Para
:
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei tudo do enunciado enviado):
- Temos uma coordenada generalizada
associada a um momento de inércia . - Existe um termo elástico com constante
que liga à outra coordenada , de modo que a energia potencial depende de . - Foram apresentados os seguintes cálculos parciais (estes são os dados que vou usar):
-
. -
. -
.
-
- A tarefa é obter a equação de movimento para
a partir dessas informações e entender claramente cada passo do cálculo.
Passo 2
Lembrando a fórmula que relaciona as quantidades que foram dadas (aqui explico didaticamente o que estamos usando).
- Existe uma relação geral (Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada
):
Explicando:
é a Lagrangiana do sistema (energia cinética menos energia potencial),
é o momento conjugado associado à velocidade
, e a equação acima é a condição de equilíbrio dinâmico que fornece a equação de movimento. Aqui a coordenada
é
.
Passo 3
Aplicando Euler–Lagrange a
usando os termos fornecidos.
- Substituo os termos que o enunciado forneceu na fórmula
. - Pelos dados:
-
. -
.
-
- Logo, substituindo:
Passo 4
Arrumando a equação para uma forma padrão e interpretando os sinais.
- Reescrevo a equação do passo anterior como:
- Interpretando: esse é um oscilador linear com rigidez
e inércia , mas ligado à coordenada . Se fosse zero ou constante, seria um oscilador livre com frequência natural determinada por e .
Passo 5
Coloco a equação em forma de equação diferencial linear de 2ª ordem mais explícita, isolando
.
- Dividindo por
(assumindo ): - Defino a frequência natural associada
como . Assim a equação fica: - É uma equação linear não homogênea: o termo do lado direito é uma “força” (no sentido de forçamento) dependente de
.
Passo 6
Mostro como resolver essa equação de forma geral (passo a passo para saber aplicar na prova).
- Estratégia padrão: solução geral = solução homogênea + uma solução particular.
- Solução homogênea (quando a parte direita é zero): resolver
. As soluções são combinações de cosseno e seno: onde são constantes determinadas por condições iniciais e .
Explicando: isso vem de assumir solução do tipo, obter e assim . - Solução particular depende da forma de
. Alguns casos úteis na prova: - Se
(constante), então uma solução particular constante funciona, pois substituindo dá . - Se
for harmonic, , então buscar uma particular do mesmo tipo (método dos coeficientes indeterminados) leva a uma resposta de amplitude dependente da diferença entre e . - Se
for qualquer função conhecida, pode-se obter a solução particular por convolução com a resposta ao impulso (uso da função de Green) ou por variação de parâmetros. Na prova normalmente basta saber a forma e, para casos simples, calcular explicitamente.
- Se
- Solução homogênea (quando a parte direita é zero): resolver
- Assim a solução geral fica:
Passo 7
Uma alternativa prática: trabalhar com a coordenada relativa
.
- Defino
. Então . - A equação original
torna-se, substituindo : - Rearranjando:
ou em forma padrão:
- Interpretação didática: a diferença
obedece a um oscilador forçado cuja força efetiva é proporcional à aceleração de . Isto às vezes simplifica encontrar soluções quando se conhece .
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar (maneira que ajuda na prova):
- Caso 1:
(constante). Então e a solução geral é - Caso 2:
. Procurando e substituindo em obtém-se
desde que
. Isso mostra ressonância quando
está muito próximo de
.
- Esses exemplos mostram como escolher rapidamente uma solução particular apropriada na prova.