• Para \theta_{2} :
\begin{aligned} & \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{2}}=I_{2} \dot{\theta}_{2} ; \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{2}}\right)=I_{2} \ddot{\theta}_{2} \\\ & \frac{\partial L}{\partial \theta_{2}}=K_{2}\left(\theta_{2}-\theta\right) \\\ & I_{2} \ddot{\theta}_{2}+K_{2}\left(\theta_{2}-\theta\right)=0 \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumindo claramente):
  • Variáveis e parâmetros fornecidos:
    • \theta_{2}: coordenada generalizada (ângulo) do corpo 2.
    • \dot{\theta}_{2}, \ddot{\theta}_{2}: velocidade angular e aceleração angular de \theta_{2}.
    • I_{2}: momento de inércia associado a \theta_{2}.
    • K_{2}: constante do torção (mola torsional) que liga \theta_{2} a outro ângulo \theta.
    • \theta: outro ângulo do sistema, aparece dentro da energia elástica como ângulo de referência.
  • Informação implícita (necessária):
    • A energia cinética do corpo 2 tem a forma típica de rotação: T_{2}=\tfrac{1}{2}I_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}.
    • A energia potencial elástica da mola torsional é V=\tfrac{1}{2}K_{2}(\theta_{2}-\theta)^{2}.
    • O Lagrangiano é L=T-V.
  • Pedido: obter a equação de movimento para \theta_{2} usando as equações de Lagrange (ou seja, calcular \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{2}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial \theta_{2}}=0).

Passo 2

Lembrando a fórmula de Lagrange (passo teórico curto e claro):
  • A equação de Lagrange para a coordenada generalizada \theta_{2} é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{2}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta_{2}}=0.
Explanação: aqui L=T-V. A derivada parcial \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{2}} mede como o Lagrangiano muda quando a velocidade angular de \theta_{2} muda; a derivada parcial \dfrac{\partial L}{\partial \theta_{2}} mede como L muda quando o ângulo \theta_{2} muda. Tirar a derivada temporal da primeira e subtrair a segunda nos dá a equação de movimento (sem forças não conservativas).

Passo 3

Escrever explicitamente T e V para este grau de liberdade:
  • Energia cinética (rotação):
T=\tfrac{1}{2}I_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}.
Explicação simples: para um corpo que gira, T=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}; aqui \omega=\dot{\theta}_{2} e I=I_{2}.
  • Energia potencial da mola torsional (torque linear na deflexão):
V=\tfrac{1}{2}K_{2}\bigl(\theta_{2}-\theta\bigr)^{2}.
Explicação: a mola armazena energia proporcional ao quadrado da deflexão angular relativa \theta_{2}-\theta.
Portanto o Lagrangiano é
L=T-V=\tfrac{1}{2}I_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}-\tfrac{1}{2}K_{2}\bigl(\theta_{2}-\theta\bigr)^{2}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{2}} e sua derivada temporal:
  • Primeiro, a derivada parcial em relação à velocidade:
\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{2}}=\frac{\partial}{\partial \dot{\theta}_{2}}\!\left(\tfrac{1}{2}I_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}\right)=I_{2}\dot{\theta}_{2}.
Explanação: derivada de \tfrac{1}{2}I_{2}\dot{\theta}_{2}^{2} em relação a \dot{\theta}_{2} é I_{2}\dot{\theta}_{2} (regra do poder: d(x^{2})/dx=2x, cancela o 1/2).
  • Agora a derivada temporal dessa expressão:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{2}}\right)=\frac{d}{dt}\bigl(I_{2}\dot{\theta}_{2}\bigr)=I_{2}\ddot{\theta}_{2},
pois I_{2} é constante (não depende do tempo).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial L}{\partial \theta_{2}}:
  • Só a energia potencial V depende de \theta_{2}. Como L=T-V, temos
\frac{\partial L}{\partial \theta_{2}}=-\frac{\partial V}{\partial \theta_{2}}.
  • Calcular \dfrac{\partial V}{\partial \theta_{2}}:
\frac{\partial V}{\partial \theta_{2}}=\frac{\partial}{\partial \theta_{2}}\!\left(\tfrac{1}{2}K_{2}(\theta_{2}-\theta)^{2}\right)=K_{2}(\theta_{2}-\theta).
(derivada de \tfrac{1}{2}(\cdot)^{2} dá o fator 2 que cancela o 1/2; depois multiplica por K_{2} e pelo derivado interno, que é 1.)
  • Logo
\frac{\partial L}{\partial \theta_{2}}=-K_{2}(\theta_{2}-\theta).
Explicação física rápida: a mola exerce um torque que tende a reduzir a diferença \theta_{2}-\theta; esse torque é -K_{2}(\theta_{2}-\theta) (sinal menos porque aumenta \theta_{2} aumenta V, reduz L).

Passo 6

Substituir na equação de Lagrange e simplificar:
  • A equação é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_{2}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta_{2}}=0.
  • Substituindo os termos encontrados:
I_{2}\ddot{\theta}_{2}-\bigl(-K_{2}(\theta_{2}-\theta)\bigr)=0.
  • Isso dá
I_{2}\ddot{\theta}_{2}+K_{2}(\theta_{2}-\theta)=0.
Interpretação: é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem para \theta_{2}. O termo K_{2}(\theta_{2}-\theta) é o torque elástico que atua como “força restauradora” dependente da diferença entre os ângulos.

Passo 7

Comentário didático sobre solução e física (curto, motivador):
  • Se \theta(t) for conhecida (por exemplo zero ou uma função dada), a equação é uma equação linear forçada ou homogênea dependendo do caso, e pode ser resolvida com métodos padrão (solução complementar + solução particular).
  • Se \theta for constante (por exemplo \theta=0), a equação cuja forma é I_{2}\ddot{\theta}_{2}+K_{2}\theta_{2}=0 descreve um oscilador harmônico angular com frequência natural
\omega_{0}=\sqrt{\frac{K_{2}}{I_{2}}}.
  • Dica de prova: lembrar sempre de escrever T e V claramente, usar L=T-V, e aplicar a fórmula de Lagrange passo a passo; prestar atenção nos sinais (o sinal negativo vem de L=T-V).

Resposta

I_{2}\ddot{\theta}_{2}+K_{2}(\theta_{2}-\theta)=0

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