- Para
:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumindo claramente):
- Variáveis e parâmetros fornecidos:
-
: coordenada generalizada (ângulo) do corpo 2. -
, : velocidade angular e aceleração angular de . -
: momento de inércia associado a . -
: constante do torção (mola torsional) que liga a outro ângulo . -
: outro ângulo do sistema, aparece dentro da energia elástica como ângulo de referência.
-
- Informação implícita (necessária):
- A energia cinética do corpo 2 tem a forma típica de rotação:
. - A energia potencial elástica da mola torsional é
. - O Lagrangiano é
.
- A energia cinética do corpo 2 tem a forma típica de rotação:
- Pedido: obter a equação de movimento para
usando as equações de Lagrange (ou seja, calcular ).
Passo 2
Lembrando a fórmula de Lagrange (passo teórico curto e claro):
- A equação de Lagrange para a coordenada generalizada
é
Explanação: aqui
. A derivada parcial
mede como o Lagrangiano muda quando a velocidade angular de
muda; a derivada parcial
mede como
muda quando o ângulo
muda. Tirar a derivada temporal da primeira e subtrair a segunda nos dá a equação de movimento (sem forças não conservativas).
Passo 3
Escrever explicitamente
e
para este grau de liberdade:
- Energia cinética (rotação):
Explicação simples: para um corpo que gira,
; aqui
e
.
- Energia potencial da mola torsional (torque linear na deflexão):
Explicação: a mola armazena energia proporcional ao quadrado da deflexão angular relativa
.
Portanto o Lagrangiano é
Passo 4
Calcular
e sua derivada temporal:
- Primeiro, a derivada parcial em relação à velocidade:
Explanação: derivada de
em relação a
é
(regra do poder:
, cancela o
).
- Agora a derivada temporal dessa expressão:
pois
é constante (não depende do tempo).
Passo 5
Calcular
:
- Só a energia potencial
depende de . Como , temos
- Calcular
:
(derivada de
dá o fator 2 que cancela o
; depois multiplica por
e pelo derivado interno, que é
.)
- Logo
Explicação física rápida: a mola exerce um torque que tende a reduzir a diferença
; esse torque é
(sinal menos porque aumenta
aumenta
, reduz
).
Passo 6
Substituir na equação de Lagrange e simplificar:
- A equação é
- Substituindo os termos encontrados:
- Isso dá
Interpretação: é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem para
. O termo
é o torque elástico que atua como “força restauradora” dependente da diferença entre os ângulos.
Passo 7
Comentário didático sobre solução e física (curto, motivador):
- Se
for conhecida (por exemplo zero ou uma função dada), a equação é uma equação linear forçada ou homogênea dependendo do caso, e pode ser resolvida com métodos padrão (solução complementar + solução particular). - Se
for constante (por exemplo ), a equação cuja forma é descreve um oscilador harmônico angular com frequência natural
- Dica de prova: lembrar sempre de escrever
e claramente, usar , e aplicar a fórmula de Lagrange passo a passo; prestar atenção nos sinais (o sinal negativo vem de ).